問題は3つあります。 1. 順列 $9P_3$, 階乗 $7!$, 順列 $5P_0$ の値をそれぞれ計算する。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

1. 順列 $9P_3$, 階乗 $7!$, 順列 $5P_0$ の値をそれぞれ計算する。

2. 大人3人と子供3人が一列に並ぶ場合の数を求める。(1)子供3人が続いて並ぶ場合、(2)大人と子供が交互に並ぶ場合。

3. 0から5までの異なる数字を使って5桁の偶数を作る場合の数を求める。

2. 解き方の手順

1. (1) 順列 $9P_3$ は、9個の中から3個を選んで並べる場合の数なので、

$9P_3 = 9 \times 8 \times 7 = 504$

(2) 階乗 $7!$ は、7の階乗なので、

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(3) 順列 $5P_0$ は、5個の中から0個を選んで並べる場合の数なので、

$5P_0 = 1$ (何も選ばない並べ方は1通りと考える)

2. (1) 子供3人が続いて並ぶ場合、子供3人を1つのグループとして考え、大人3人と子供のグループの合計4つを並べる場合の数は $4!$ 通り。子供3人の並び方は $3!$ 通り。よって、

$4! \times 3! = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) = 24 \times 6 = 144$ 通り。

(2) 大人と子供が交互に並ぶ場合、大人と子供の人数が同じなので、大人が先に並ぶか、子供が先に並ぶかの2パターンがある。

大人が先に並ぶ場合、大人の並び方は $3!$ 通り。その隙間に子供が並ぶ並び方は $3!$ 通り。

子供が先に並ぶ場合も同様に、子供の並び方は $3!$ 通り。その隙間に大人が並ぶ並び方は $3!$ 通り。

よって、

$2 \times 3! \times 3! = 2 \times (3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) = 2 \times 6 \times 6 = 72$ 通り。

3. 5桁の偶数を作る場合、一の位に来る数字は0, 2, 4のいずれかである。

(i) 一の位が0のとき、残りの4桁には1, 2, 3, 4, 5のいずれかの数字を入れることができる。

この場合の数は $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ 通り。

(ii) 一の位が2または4のとき、一の位の決め方は2通り。

万の位には0以外の数字を入れる必要があるので、万の位に入れることができる数字は4通り。

残りの3桁は4個の数字から3つを選んで並べるので、 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

よって、この場合の数は $2 \times 4 \times 4 \times 3 \times 2 = 192$ 通り。

したがって、5桁の偶数の総数は、$120 + 192 = 312$ 通り。

3. 最終的な答え

1. (1) 504, (2) 5040, (3) 1

2. (1) 144通り, (2) 72通り

3. 312個