(1) 次の循環小数を分数で表す。 (ア) $0.\dot{7}$ (イ) $3.\dot{7}\dot{2}$ (ウ) $1.2\dot{1}\dot{6}$ (2) $\frac{10}{7}$を小数で表したとき、小数第100位の数字を求める。

1. 問題の内容

(1) 次の循環小数を分数で表す。

(ア) $0.\dot{7}$

(イ) $3.\dot{7}\dot{2}$

(ウ) $1.2\dot{1}\dot{6}$

(2) $\frac{10}{7}$を小数で表したとき、小数第100位の数字を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(ア) $x = 0.\dot{7}$とおくと、$10x = 7.\dot{7}$なので、$10x - x = 7.\dot{7} - 0.\dot{7}$より、 $9x = 7$。したがって、$x = \frac{7}{9}$。

(イ) $x = 3.\dot{7}\dot{2}$とおくと、$100x = 372.\dot{7}\dot{2}$なので、$100x - x = 372.\dot{7}\dot{2} - 3.\dot{7}\dot{2}$より、$99x = 369$。したがって、$x = \frac{369}{99} = \frac{41}{11}$。

(ウ) $x = 1.2\dot{1}\dot{6}$とおくと、$10x = 12.\dot{1}\dot{6}$。さらに、$1000x = 1216.\dot{1}\dot{6}$なので、$1000x - 10x = 1216.\dot{1}\dot{6} - 12.\dot{1}\dot{6}$より、$990x = 1204$。したがって、$x = \frac{1204}{990} = \frac{602}{495}$。

(2)

$\frac{10}{7}$を小数で表すと、$10 \div 7 = 1.428571428571...$。循環節は$428571$で、循環節の長さは6である。

小数第100位の数字を求めるには、100を6で割った余りを考える。

$100 \div 6 = 16$ あまり 4。

よって、小数第100位の数字は、循環節の4番目の数字である。循環節は$428571$なので、4番目の数字は5。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $\frac{7}{9}$

(イ) $\frac{41}{11}$

(ウ) $\frac{602}{495}$

(2) 5