12人を指定された人数構成のグループに分ける場合の数を求める問題です。各問題は以下の通りです。 (1) 5人、4人、3人に分ける。 (2) 4人ずつA組、B組、C組の3組に分ける。 (3) 4人ずつ3組に分ける。 (4) 6人、3人、3人に分ける。 (5) 4人、4人、2人、2人に分ける。

算数組み合わせ場合の数組合せ

2025/7/17

1. 問題の内容

12人を指定された人数構成のグループに分ける場合の数を求める問題です。各問題は以下の通りです。

(1) 5人、4人、3人に分ける。

(2) 4人ずつA組、B組、C組の3組に分ける。

(3) 4人ずつ3組に分ける。

(4) 6人、3人、3人に分ける。

(5) 4人、4人、2人、2人に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 5人、4人、3人に分ける場合：

まず12人から5人を選び、次に残りの7人から4人を選び、最後に残りの3人から3人を選ぶ。

{}_{12}C_5 \times {}_7C_4 \times {}_3C_3 = \frac{12!}{5!7!} \times \frac{7!}{4!3!} \times \frac{3!}{3!0!}

= \frac{12!}{5!4!3!}

= \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1}

= 12 \times 11 \times 10 \times 3 \times 7 = 27720

(2) 4人ずつA組、B組、C組の3組に分ける場合：

まず12人から4人を選び、次に残りの8人から4人を選び、最後に残りの4人から4人を選ぶ。A,B,Cの区別があるのでこれで良い。

{}_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_4 = \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!}

= \frac{12!}{4!4!4!}

= \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}

= 495 \times 70 = 34650

(3) 4人ずつ3組に分ける場合：

まず12人から4人を選び、次に残りの8人から4人を選び、最後に残りの4人から4人を選ぶ。3組に区別がないので、3!で割る。

\frac{{}_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_4}{3!} = \frac{1}{3!} \times \frac{12!}{4!4!4!}

= \frac{1}{6} \times \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}

= \frac{34650}{6} = 5775

(4) 6人、3人、3人に分ける場合：

まず12人から6人を選び、次に残りの6人から3人を選び、最後に残りの3人から3人を選ぶ。3人のグループが2つあるので、2!で割る。

\frac{{}_{12}C_6 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{2!} = \frac{1}{2!} \times \frac{12!}{6!3!3!}

= \frac{1}{2} \times \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} \times 6 = \frac{1}{2} \times 924 \times 20 = 4620

(5) 4人、4人、2人、2人に分ける場合：

まず12人から4人を選び、次に残りの8人から4人を選び、次に残りの4人から2人を選び、最後に残りの2人から2人を選ぶ。4人のグループが2つ、2人のグループが2つあるので、2!2!で割る。

\frac{{}_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{2!2!} = \frac{1}{4} \times \frac{12!}{4!4!2!2!}

= \frac{1}{4} \times 495 \times 70 \times 6 = \frac{1}{4} \times 207900 = 51975