7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる数字を使ってできる、次の数は何個あるか。 (1) 5桁の整数 (2) 4桁の奇数 (3) 5桁の偶数

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる数字を使ってできる、次の数は何個あるか。

(1) 5桁の整数

(2) 4桁の奇数

(3) 5桁の偶数

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数

5桁の整数を作る場合、一番左の桁に0は使えません。

- 1番目の桁には、1から6の6個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 2番目の桁には、残りの6個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 3番目の桁には、残りの5個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 4番目の桁には、残りの4個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 5番目の桁には、残りの3個の数字のどれかを選ぶことができます。

したがって、5桁の整数の個数は次のようになります。

$6 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2160$

(2) 4桁の奇数

4桁の奇数を作る場合、一番右の桁は奇数でなければなりません。使用できる奇数は1, 3, 5の3つです。

- 4番目の桁（一番右の桁）には、1, 3, 5の3個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 1番目の桁には、0と既に4番目の桁で使った数字を除く5個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 2番目の桁には、残りの5個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 3番目の桁には、残りの4個の数字のどれかを選ぶことができます。

したがって、4桁の奇数の個数は次のようになります。

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$

(3) 5桁の偶数

5桁の偶数を作る場合、一番右の桁は偶数でなければなりません。使用できる偶数は0, 2, 4, 6の4つです。場合分けが必要です。

a. 一番右の桁が0の場合

- 5番目の桁（一番右の桁）には、0を選ぶので、1通りです。

- 1番目の桁には、残りの6個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 2番目の桁には、残りの5個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 3番目の桁には、残りの4個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 4番目の桁には、残りの3個の数字のどれかを選ぶことができます。

この場合の個数は、$6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 1 = 360$通りです。

b. 一番右の桁が2, 4, 6のいずれかの場合

- 5番目の桁（一番右の桁）には、2, 4, 6の3個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 1番目の桁には、0と既に5番目の桁で使った数字を除く5個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 2番目の桁には、残りの5個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 3番目の桁には、残りの4個の数字のどれかを選ぶことができます。

- 4番目の桁には、残りの3個の数字のどれかを選ぶことができます。

この場合の個数は、$5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 3 = 900$通りです。

したがって、5桁の偶数の個数は、aとbの場合の合計で、$360 + 900 = 1260$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 5桁の整数：2160個

(2) 4桁の奇数：300個

(3) 5桁の偶数：1260個