12人を指定された人数でグループに分ける場合の数を求める問題です。 (1) A, B, Cの3つの組に、4人ずつ分ける。 (2) 4人ずつの3つのグループに分ける。 (3) 5人、4人、3人の3つのグループに分ける。 (4) 6人、3人、3人の3つのグループに分ける。

1. 問題の内容

12人を指定された人数でグループに分ける場合の数を求める問題です。

(1) A, B, Cの3つの組に、4人ずつ分ける。

(2) 4人ずつの3つのグループに分ける。

(3) 5人、4人、3人の3つのグループに分ける。

(4) 6人、3人、3人の3つのグループに分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cの3つの組に、4人ずつ分ける場合

まず、12人からAの組に入れる4人を選ぶ組み合わせは ${}_{12}C_4$通りです。

次に、残りの8人からBの組に入れる4人を選ぶ組み合わせは ${}_8C_4$通りです。

最後に、残りの4人はCの組に入ります。

したがって、分け方は ${}_{12}C_4 \times {}_8C_4$通りです。

${}_{12}C_4 = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

${}_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

${}_{12}C_4 \times {}_8C_4 = 495 \times 70 = 34650$

(2) 4人ずつの3つのグループに分ける場合

(1)と同様に考えて、まず12人から4人を選ぶ組み合わせは ${}_{12}C_4$通り、残りの8人から4人を選ぶ組み合わせは ${}_8C_4$通り、残りの4人から4人を選ぶ組み合わせは ${}_4C_4$通りです。

ただし、この場合はグループに区別がないため、3つのグループの並び順は考慮しません。3つのグループの並び順は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通りあるので、(1)で求めた数を$3!$で割る必要があります。

$\frac{{}_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_4}{3!} = \frac{495 \times 70 \times 1}{6} = \frac{34650}{6} = 5775$

(3) 5人、4人、3人の3つのグループに分ける場合

12人から5人を選ぶ組み合わせは${}_{12}C_5$通りです。

残りの7人から4人を選ぶ組み合わせは${}_7C_4$通りです。

残りの3人から3人を選ぶ組み合わせは${}_3C_3$通りです。

したがって、分け方は${}_{12}C_5 \times {}_7C_4 \times {}_3C_3$通りです。

${}_{12}C_5 = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$

${}_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

${}_3C_3 = 1$

${}_{12}C_5 \times {}_7C_4 \times {}_3C_3 = 792 \times 35 \times 1 = 27720$

(4) 6人、3人、3人の3つのグループに分ける場合

12人から6人を選ぶ組み合わせは${}_{12}C_6$通りです。

残りの6人から3人を選ぶ組み合わせは${}_6C_3$通りです。

残りの3人から3人を選ぶ組み合わせは${}_3C_3$通りです。

3人のグループは区別がないので、2つの3人グループの並び順を考慮しないために、$2!$で割ります。

$\frac{{}_{12}C_6 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{2!} = \frac{{}_{12}C_6 \times {}_6C_3}{2}$

${}_{12}C_6 = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$

${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$\frac{924 \times 20}{2} = 924 \times 10 = 9240$

3. 最終的な答え

(1) 34650通り

(2) 5775通り

(3) 27720通り

(4) 9240通り