東西に6本、南北に7本の道がある街において、点Pから点Qまで最短距離で行く道順の数を、以下の3つの場合に分けて求める問題です。 (1) PからQまで直接行く場合 (2) PからRを通ってQまで行く場合 (3) PからRを通らずにQまで行く場合

1. 問題の内容

東西に6本、南北に7本の道がある街において、点Pから点Qまで最短距離で行く道順の数を、以下の3つの場合に分けて求める問題です。

(1) PからQまで直接行く場合

(2) PからRを通ってQまで行く場合

(3) PからRを通らずにQまで行く場合

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く場合

PからQまで最短距離で行くには、東に5区画、北に6区画進む必要があります。したがって、これは11回の移動のうち東に5回移動する方法の数、または11回の移動のうち北に6回移動する方法の数と同じです。組み合わせの公式を用いると、次のようになります。

$_{11}C_5 = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$

(2) PからRを通ってQまで行く場合

まず、PからRまで最短距離で行く道順を求めます。PからRまでは、東に2区画、北に2区画進む必要があります。したがって、これは4回の移動のうち東に2回移動する方法の数、または4回の移動のうち北に2回移動する方法の数と同じです。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

次に、RからQまで最短距離で行く道順を求めます。RからQまでは、東に3区画、北に4区画進む必要があります。したがって、これは7回の移動のうち東に3回移動する方法の数、または7回の移動のうち北に4回移動する方法の数と同じです。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

したがって、PからRを通ってQまで行く道順は、PからRまでの道順とRからQまでの道順の積で求められます。

$6 \times 35 = 210$

(3) PからRを通らずにQまで行く場合

PからQまで行くすべての道順から、PからRを通ってQまで行く道順を引けば、PからRを通らずにQまで行く道順が求められます。

$462 - 210 = 252$

3. 最終的な答え

(1) PからQまで行く道順は462通りです。

(2) PからRを通ってQまで行く道順は210通りです。

(3) PからRを通らずにQまで行く道順は252通りです。