1から8までの数字が書かれた8個の玉があり、それぞれ2個ずつ箱A, B, Cに入れる。 (1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りあるか。 (2) 3つの箱への玉の入れ方は何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方は何通りあるか。 (3) 箱A, B, Cに入れる2個の玉に書かれた数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1から8までの数字が書かれた8個の玉があり、それぞれ2個ずつ箱A, B, Cに入れる。

(1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りあるか。

(2) 3つの箱への玉の入れ方は何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方は何通りあるか。

(3) 箱A, B, Cに入れる2個の玉に書かれた数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

箱Aに入れる玉の選び方は、8個から2個を選ぶ組み合わせなので、

$_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通り。

(2)

3つの箱への玉の入れ方は、まず箱Aに入れる2個を選び、次に残りの6個から箱Bに入れる2個を選び、最後に残りの2個を箱Cに入れるので、

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 = \frac{8 \times 7}{2} \times \frac{6 \times 5}{2} \times \frac{4 \times 3}{2} = 28 \times 15 \times 6 = 2520$通り。

箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れる場合を考える。

5以下の数は1, 2, 3, 4, 5の5つ、6以上の数は6, 7, 8の3つである。

箱A, Bには1, 2, 3, 4, 5のいずれかの2つの組み合わせが入る。箱Cには6, 7, 8のいずれかの2つの組み合わせが入る。

箱Aの選び方は $_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

箱Bの選び方は残りの3個から2個を選ぶので $_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2} = 3$通り。

箱Cの選び方は $_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2} = 3$通り。

よって、入れ方は$10 \times 3 \times 3 = 90$通り。

(3)

a, b, cがすべて偶数となる場合を考える。

a, b, cが偶数となるのは、それぞれの箱に入れる2つの玉の数字が、偶数+偶数または奇数+奇数の場合である。

1から8までの数字のうち、偶数は2, 4, 6, 8の4つ、奇数は1, 3, 5, 7の4つである。

箱Aに偶数+偶数を入れる場合、$_4C_2 = 6$通り。

箱Aに奇数+奇数を入れる場合、$_4C_2 = 6$通り。

したがって、箱Aの入れ方は$6+6=12$通り。

箱B, Cについても同様に考える。ただし、箱Aの選び方によって残りの玉の個数が変化するため、場合分けが必要になる。

(i)箱Aが偶数+偶数の場合

箱Aの選び方は $_4C_2 = 6$通り。残りの偶数は2個、奇数は4個。

箱Bが偶数+偶数の場合、$_2C_2 = 1$通り。箱Bが奇数+奇数の場合、$_4C_2 = 6$通り。

箱Cは残りの玉から選ぶ。

(ii)箱Aが奇数+奇数の場合

箱Aの選び方は $_4C_2 = 6$通り。残りの偶数は4個、奇数は2個。

箱Bが偶数+偶数の場合、$_4C_2 = 6$通り。箱Bが奇数+奇数の場合、$_2C_2 = 1$通り。

箱Cは残りの玉から選ぶ。

したがって、a, b, cがすべて偶数となるのは、$6(1+6)+6(6+1) = 6(7)+6(7)=42+42 = 84$通り。

a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となる場合を考える。

これは、全体からa, b, cがすべて奇数となる場合を除けばよい。

a, b, cがすべて奇数になるのは、2つの玉の和が奇数になるのは、偶数+奇数の組み合わせの時のみである。しかし箱に入れる玉は2つなので和が奇数になることはない。よってa,b,cがすべて奇数になることはない。

3つの箱への玉の入れ方は2520通りなので、a,b,cのうち少なくとも１つが偶数となるのは2520通り。

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 2520通り、90通り

(3) 84通り、2520通り