(1) 0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字から重複を許して作られる4桁の整数について、以下の個数を求める。 * 4桁の整数 * 5で割り切れる整数 * 2で割り切れかつ5で割り切れる整数 (2) 大人2人（男1人、女1人）と子ども6人（男3人、女3人）が円形のテーブルに着席するとき、次のような並び方は何通りあるか。 * 大人2人が正面に向かい合う並び方 * 男性と女性が交互に並ぶ並び方 (3) 色の異なる7個の玉をつなげて腕輪を作る。何通りできるか。 (4) a, a, b, b, b, b, c の7文字を1列に並べる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字から重複を許して作られる4桁の整数について、以下の個数を求める。

* 4桁の整数

* 5で割り切れる整数

* 2で割り切れかつ5で割り切れる整数

(2) 大人2人（男1人、女1人）と子ども6人（男3人、女3人）が円形のテーブルに着席するとき、次のような並び方は何通りあるか。

* 大人2人が正面に向かい合う並び方

* 男性と女性が交互に並ぶ並び方

(3) 色の異なる7個の玉をつなげて腕輪を作る。何通りできるか。

(4) a, a, b, b, b, b, c の7文字を1列に並べる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

1. 4桁の整数：

* 千の位は0以外なので5通り。

* 百、十、一の位はそれぞれ6通り。

* よって、$5 \times 6 \times 6 \times 6 = 5 \times 6^3$

2. 5で割り切れる整数：

* 一の位は0または5なので2通り。

* 千の位は0以外なので、

* 一の位が0のとき：千の位は5通り、百の位と十の位はそれぞれ6通り。$5 \times 6 \times 6 = 180$

* 一の位が5のとき：千の位は5通り、百の位と十の位はそれぞれ6通り。$5 \times 6 \times 6 = 180$

* よって、$180+180 = 360$

3. 2で割り切れかつ5で割り切れる整数：

* 2で割り切れかつ5で割り切れる整数は10で割り切れる整数なので、一の位は0。

* 千の位は0以外なので5通り。

* 百、十の位はそれぞれ6通り。

* よって、$5 \times 6 \times 6 = 180$

(2)

1. 大人2人が正面に向かい合う並び方：

* まず男を固定する。女は男の正面に座るので1通り。

* 残りの6人の子供の並び方は6!通り。

* よって、$6! = 720$通り。

2. 男性と女性が交互に並ぶ並び方：

* まず男性4人を並べる。円順列なので(4-1)! = 3! = 6通り。

* 次に女性4人を男性の間に並べる。4! = 24通り。

* よって、$6 \times 24 = 144$通り。

(3)

* 7個の異なる玉を円形に並べる方法は(7-1)! = 6! = 720通り。

* 腕輪なので裏返しにしても同じ。よって、720 / 2 = 360通り。

(4)

* 7つの文字を並べる総数は7!通り。

* ただし、aが2つ、bが4つあるので、同じ文字の並び順を考慮する必要がある。

* よって、$7! / (2! \times 4!) = (7 \times 6 \times 5) / 2 = 105$通り。

3. 最終的な答え

(1)

1. 4桁の整数：1080個

2. 5で割り切れる整数：432個

3. 2で割り切れかつ5で割り切れる整数：180個

(2)

1. 大人2人が正面に向かい合う並び方：720通り

2. 男性と女性が交互に並ぶ並び方：144通り

(3) 360通り

(4) 105通り

(1)

1. 4桁の整数：1080個

2. 5で割り切れる整数：360個

3. 2で割り切れかつ5で割り切れる整数：180個

(2)

1. 大人2人が正面に向かい合う並び方：720通り

2. 男性と女性が交互に並ぶ並び方：144通り

(3) 360通り

(4) 105通り