長方形ABCDがあり、AB = 8cm、AD = 15cmである。点PはCを出発してBC上を毎秒2cmでBまで動き、点QはDを出発してDC上を毎秒1cmでCまで動く。P, Qが同時に出発したとき、三角形PCQの面積が16 cm$^2$になるのは、出発してから何秒後かを全て求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB = 8cm、AD = 15cmである。点PはCを出発してBC上を毎秒2cmでBまで動き、点QはDを出発してDC上を毎秒1cmでCまで動く。P, Qが同時に出発したとき、三角形PCQの面積が16 cm$^2$になるのは、出発してから何秒後かを全て求める。

2. 解き方の手順

出発してから$x$秒後のPCの長さは、$BC - BP = 8 - 2x$ cmである。ただし、$0 \leq x \leq 4$である。

出発してから$x$秒後のQCの長さは、$DC - DQ = 15 - x$ cmである。ただし、$0 \leq x \leq 15$である。

したがって、三角形PCQの面積は、

$$\frac{1}{2} (8 - 2x) (15 - x)$$

これが16となるので、次の方程式を解く。

$$\frac{1}{2} (8 - 2x) (15 - x) = 16$$

$$(8 - 2x) (15 - x) = 32$$

$$120 - 8x - 30x + 2x^2 = 32$$

$$2x^2 - 38x + 88 = 0$$

$$x^2 - 19x + 44 = 0$$

解の公式を用いると、

$$x = \frac{-(-19) \pm \sqrt{(-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 44}}{2 \cdot 1}$$

$$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 176}}{2}$$

$$x = \frac{19 \pm \sqrt{185}}{2}$$

$x = \frac{19 \pm \sqrt{185}}{2}$ は$0 \le x \le 4$ および $0 \le x \le 15$を満たす必要がある。

$\sqrt{185} \approx 13.6$なので、

$x \approx \frac{19 + 13.6}{2} \approx 16.3$, および

$x \approx \frac{19 - 13.6}{2} \approx 2.7$

因数分解を試みると

$(x - 4)(x - 11) = x^2 - 15x + 44$

$(x - 2)(x - 22) = x^2 - 24x + 44$

$x^2 - 19x + 44 = 0$を解くと

$$x = \frac{19 \pm \sqrt{19^2 - 4(44)}}{2} = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 176}}{2} = \frac{19 \pm \sqrt{185}}{2}$$

$13 < \sqrt{185} < 14$ より

$$\frac{19 - 14}{2} < \frac{19 - \sqrt{185}}{2} < \frac{19 - 13}{2}$$

$$2.5 < \frac{19 - \sqrt{185}}{2} < 3$$

$$\frac{19 + 13}{2} < \frac{19 + \sqrt{185}}{2} < \frac{19 + 14}{2}$$

$$16 < \frac{19 + \sqrt{185}}{2} < 16.5$$

よって、$x = \frac{19 - \sqrt{185}}{2}$ のみ適合する。

$0 \le 8 - 2x$ から $x \le 4$

$0 \le 15 - x$ から $x \le 15$

3. 最終的な答え

$\frac{19 - \sqrt{185}}{2}$ 秒後