$x = 2-i$ が3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 5 = 0$ の解であるとき、実数 $a$, $b$ の値を求め、他の解を求める。

1. 問題の内容

$x = 2-i$ が3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 5 = 0$ の解であるとき、実数 $a$, $b$ の値を求め、他の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=2-i$ が解であることから、$x=2+i$ も解である。なぜなら、係数がすべて実数なので、複素数解の共役複素数も解になる。

(2) 残りの解を $\alpha$ とする。

(3) 解と係数の関係より、3つの解の和は $-a$, 3つの解の積は $5$ である。

(4) まず解の積について考える。

$(2-i)(2+i)\alpha = 5$

$(4 - i^2)\alpha = 5$

$(4 + 1)\alpha = 5$

$5\alpha = 5$

$\alpha = 1$

よって、残りの解は1である。

(5) 3つの解の和は $2-i + 2+i + 1 = 5$ である。解と係数の関係より、

$5 = -a$

$a = -5$

(6) 2つずつの解の積の和は $b$ である。

$(2-i)(2+i) + (2-i)(1) + (2+i)(1) = b$

$5 + 2 - i + 2 + i = b$

$9 = b$

$b = 9$

3. 最終的な答え

$a = -5$, $b = 9$, 他の解は $2+i$ と $1$