$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y=3$ のとき、$3x^2+y^2$ の最大値と最小値を求め、それぞれのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y=3$ のとき、$3x^2+y^2$ の最大値と最小値を求め、それぞれのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = 3 - x$ を $3x^2 + y^2$ に代入して、$x$ のみの式にします。

$3x^2 + y^2 = 3x^2 + (3-x)^2 = 3x^2 + (9 - 6x + x^2) = 4x^2 - 6x + 9$

次に、$f(x) = 4x^2 - 6x + 9$ とおき、$f(x)$ の最小値を求めます。

$f(x)$ を平方完成すると

$f(x) = 4(x^2 - \frac{3}{2}x) + 9 = 4(x - \frac{3}{4})^2 - 4(\frac{9}{16}) + 9 = 4(x-\frac{3}{4})^2 - \frac{9}{4} + \frac{36}{4} = 4(x-\frac{3}{4})^2 + \frac{27}{4}$

$x \geq 0$ かつ $y = 3 - x \geq 0$ より、$0 \leq x \leq 3$ であるため、$f(x)$ は $x = \frac{3}{4}$ で最小値 $\frac{27}{4}$ をとります。

次に、$f(x)$ の最大値を求めます。区間の端点である $x=0$ および $x=3$ での値を調べます。

$f(0) = 4(0)^2 - 6(0) + 9 = 9$

$f(3) = 4(3)^2 - 6(3) + 9 = 36 - 18 + 9 = 27$

よって、$f(x)$ は $x=3$ のときに最大値 $27$ をとります。

3. 最終的な答え

$x=3$ のとき最大値をとるので、4 に入るのは

3. $x=\frac{3}{4}$ のとき最小値をとるので、7 に入るのは 3, 8 に入るのは

4. 最小値は $\frac{27}{4}$ なので、9 と 10 に入るのは 2 と 7, 11 に入るのは

4. 5と6の箱は不要。

したがって、答えは以下のようになります。

$x=3$ のとき最大値をとる。

$x=\frac{3}{4}$ のとき最小値 $\frac{27}{4}$ をとる。