A, B, C の3人が試験を受ける。それぞれの合格率は $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{3}$, $\frac{3}{4}$ である。 (1) 3人とも合格する確率を求めよ。 (2) A, B は合格するが、C は合格しない確率を求めよ。 (3) A, B, C のうち、少なくとも1人は合格する確率を求めよ。

1. 問題の内容

A, B, C の3人が試験を受ける。それぞれの合格率は $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{3}$, $\frac{3}{4}$ である。

(1) 3人とも合格する確率を求めよ。

(2) A, B は合格するが、C は合格しない確率を求めよ。

(3) A, B, C のうち、少なくとも1人は合格する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3人とも合格する確率を求める。

A, B, C がそれぞれ合格する確率は独立なので、それぞれの確率を掛け合わせる。

$P(\text{3人とも合格}) = P(A) \times P(B) \times P(C) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$

(2) A, B は合格するが、C は合格しない確率を求める。

A, B が合格する確率はそれぞれ $\frac{2}{5}$ と $\frac{2}{3}$ である。C が合格しない確率は $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ である。

それぞれの確率を掛け合わせる。

$P(A \cap B \cap \overline{C}) = P(A) \times P(B) \times P(\overline{C}) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}$

(3) 少なくとも1人が合格する確率を求める。

これは、誰も合格しない確率を1から引くことで計算できる。

A, B, C がそれぞれ合格しない確率は $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$, $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$, $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ である。

誰も合格しない確率は

$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) \times P(\overline{C}) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$

したがって、少なくとも1人が合格する確率は

$1 - P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})$

3. 最終的な答え

(1) 3人とも合格する確率:

$\frac{2}{5} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

(2) A, B は合格するが、C は合格しない確率:

$\frac{2}{5} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$

(3) 少なくとも1人は合格する確率:

$1 - \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = 1 - \frac{3}{60} = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$

(1) $\frac{1}{5}$

(2) $\frac{1}{15}$

(3) $\frac{19}{20}$