A, B, Cの3人が検定試験を受ける。A, B, Cが合格する確率はそれぞれ $\frac{4}{5}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$である。以下の確率を求めよ。 (1) 3人とも合格する確率 (2) A, Bは合格するが、Cは合格しない確率 (3) A, B, Cのうち、少なくとも1人は合格する確率

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

A, B, Cの3人が検定試験を受ける。A, B, Cが合格する確率はそれぞれ $\frac{4}{5}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$である。以下の確率を求めよ。

(1) 3人とも合格する確率

(2) A, Bは合格するが、Cは合格しない確率

(3) A, B, Cのうち、少なくとも1人は合格する確率

2. 解き方の手順

(1) 3人とも合格する確率

3人がそれぞれ合格する事象は独立なので、それぞれの確率を掛け合わせる。

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P(\text{3人とも合格}) = \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}

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(2) A, Bは合格するが、Cは合格しない確率

A, Bは合格し、Cは不合格となる確率を求める。Cが不合格となる確率は $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$である。それぞれの確率を掛け合わせる。

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P(\text{A, B合格, C不合格}) = \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}

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(3) A, B, Cのうち、少なくとも1人は合格する確率

少なくとも1人が合格する確率は、誰も合格しない確率を1から引くことで求められる。誰も合格しない確率は、それぞれの人が不合格となる確率を掛け合わせたものである。A, B, Cが不合格になる確率はそれぞれ $1-\frac{4}{5} = \frac{1}{5}$, $1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$, $1-\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$である。

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P(\text{誰も合格しない}) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}

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P(\text{少なくとも1人合格}) = 1 - P(\text{誰も合格しない})

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3. 最終的な答え

(1) 3人とも合格する確率:

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\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}

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(2) A, Bは合格するが、Cは合格しない確率:

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\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}

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(3) A, B, Cのうち、少なくとも1人は合格する確率:

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1 - \left( \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \right) = 1 - \frac{1}{60} = \frac{59}{60}

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(1) $\frac{2}{5}$

(2) $\frac{2}{15}$

(3) $\frac{59}{60}$