確率変数 $X$ が一様分布 $U(0, 4)$ に従うとき、以下の問いに答えます。 (1) $U(0, 4)$ の確率密度関数のグラフを描きます。 (2) $1 \le X < 2$ となる確率 $P(1 \le X < 2)$ を求めます。 (3) $X > 2$ となる確率 $P(X > 2)$ を求めます。 (4) $X < 1$ となる確率 $P(X < 1)$ を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が一様分布 $U(0, 4)$ に従うとき、以下の問いに答えます。

(1) $U(0, 4)$ の確率密度関数のグラフを描きます。

(2) $1 \le X < 2$ となる確率 $P(1 \le X < 2)$ を求めます。

(3) $X > 2$ となる確率 $P(X > 2)$ を求めます。

(4) $X < 1$ となる確率 $P(X < 1)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 一様分布 $U(a, b)$ の確率密度関数は、

$f(x) = \frac{1}{b-a}$ ($a \le x \le b$)

$f(x) = 0$ (それ以外)

で与えられます。したがって、$U(0, 4)$ の確率密度関数は、

$f(x) = \frac{1}{4}$ ($0 \le x \le 4$)

$f(x) = 0$ (それ以外)

となります。これをグラフに描きます。x軸は0から4まで、y軸は1/4までの長方形のグラフとなります。

(2) $1 \le X < 2$ となる確率 $P(1 \le X < 2)$ は、確率密度関数を $1$ から $2$ まで積分することで求められます。

$P(1 \le X < 2) = \int_{1}^{2} f(x) dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4}[x]_{1}^{2} = \frac{1}{4}(2 - 1) = \frac{1}{4}$

(3) $X > 2$ となる確率 $P(X > 2)$ は、確率密度関数を $2$ から $4$ まで積分することで求められます。

$P(X > 2) = \int_{2}^{4} f(x) dx = \int_{2}^{4} \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4}[x]_{2}^{4} = \frac{1}{4}(4 - 2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(4) $X < 1$ となる確率 $P(X < 1)$ は、確率密度関数を $0$ から $1$ まで積分することで求められます。

$P(X < 1) = \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4}[x]_{0}^{1} = \frac{1}{4}(1 - 0) = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 確率密度関数のグラフは、x軸が0から4まで、y軸が1/4までの長方形。

(2) $P(1 \le X < 2) = \frac{1}{4}$

(3) $P(X > 2) = \frac{1}{2}$

(4) $P(X < 1) = \frac{1}{4}$