ある日の数学の試験結果がA組、B組、C組の男女別に表にまとめられている。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しくなるような$x$の値を求める。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上となるような$x$の値を全て求める。 (3) 後日、C組の男子2名が試験を受け、2人の合計得点を$k$点とする。当初C組の平均点がA組の平均点以上であったが、2人の点数を加えるとC組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値を全て求める。

1. 問題の内容

ある日の数学の試験結果がA組、B組、C組の男女別に表にまとめられている。

(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しくなるような$x$の値を求める。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上となるような$x$の値を全て求める。

(3) 後日、C組の男子2名が試験を受け、2人の合計得点を$k$点とする。当初C組の平均点がA組の平均点以上であったが、2人の点数を加えるとC組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値を全て求める。

2. 解き方の手順

(1)

A組の平均点を求める。A組の男子の合計点は$32 \times 60 = 1920$点、女子の合計点は$8 \times 70 = 560$点。A組全体の人数は$32+8 = 40$人。

A組の平均点は、

$\frac{1920 + 560}{40} = \frac{2480}{40} = 62$点。

B組の平均点を求める。B組の男子の合計点は$(40-x) \times 65$点、女子の合計点は$x \times 55$点。B組全体の人数は$40-x+x = 40$人。

B組の平均点は$\frac{65(40-x) + 55x}{40} = \frac{2600 - 65x + 55x}{40} = \frac{2600 - 10x}{40}$。

B組の平均点がA組の平均点と等しいので、

$\frac{2600 - 10x}{40} = 62$

$2600 - 10x = 2480$

$10x = 120$

$x = 12$

(2)

C組の平均点を求める。C組の男子の合計点は$(x+5) \times 59$点、女子の合計点は$(40-x) \times 64$点。C組全体の人数は$x+5 + 40-x = 45$人。

C組の平均点は$\frac{59(x+5) + 64(40-x)}{45} = \frac{59x + 295 + 2560 - 64x}{45} = \frac{2855 - 5x}{45}$。

C組の平均点がA組の平均点以上であるので、

$\frac{2855 - 5x}{45} \ge 62$

$2855 - 5x \ge 2790$

$65 \ge 5x$

$x \le 13$。

B組の合計得点は$65(40-x) + 55x = 2600 - 65x + 55x = 2600 - 10x$。

C組の合計得点は$59(x+5) + 64(40-x) = 59x + 295 + 2560 - 64x = 2855 - 5x$。

B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上なので、$|2600 - 10x - (2855 - 5x)| \ge 300$

$|2600 - 10x - 2855 + 5x| \ge 300$

$|-255 - 5x| \ge 300$

$|5x + 255| \ge 300$

$5x + 255 \ge 300$ または $5x + 255 \le -300$

$5x \ge 45$ または $5x \le -555$

$x \ge 9$ または $x \le -111$

$x$は$1 \le x \le 39$の自然数なので、$x \ge 9$。

$x \le 13$と$x \ge 9$を満たす整数$x$は、$x = 9, 10, 11, 12, 13$。

(3)

2人の男子の得点を加える前、C組の平均点がA組の平均点以上なので$\frac{2855-5x}{45} \ge 62$、つまり$x \le 13$。

2人の男子の得点を加えた後、C組の平均点がA組の平均点より低くなる。C組の人数は$45+2=47$人となり、合計点は$2855-5x+k$となる。

$\frac{2855-5x+k}{47} < 62$

$2855 - 5x + k < 2914$

$k < 5x + 59$

$k < 5x + 59$ を満たす$x$がただ一つだけ存在するように$k$を定める。

$x$は自然数で、$1 \le x \le 13$を満たす。

$x=13$のとき、$k < 5(13) + 59 = 65 + 59 = 124$。

$x \le 12$のときは、C組の平均点がA組の平均点より高くなければならないので、$\frac{2855-5x+k}{47} \ge 62$が成り立つ必要がある。

$2855 - 5x + k \ge 2914$

$k \ge 5x + 59$

$x=12$のとき、$k \ge 5(12)+59 = 60+59 = 119$。

$k$は整数なので、$119 \le k \le 123$。

$k$がこの範囲にあるとき、$x=13$のみが$k < 5x + 59$を満たす。

$5x+59 = 5(1)+59=64, 5(2)+59=69, ..., 5(12)+59=119, 5(13)+59=124$

$k=119, 120, 121, 122, 123$

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点は62点。$x = 12$

(2) $x = 9, 10, 11, 12, 13$

(3) $k = 119, 120, 121, 122, 123$