自然数 $n$ が $n$ 個連続して現れる数列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ... について、以下の問いに答える。 (1) この数列の第100項目を求めよ。 (2) この数列の第100項目までの和を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ が $n$ 個連続して現れる数列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ... について、以下の問いに答える。

(1) この数列の第100項目を求めよ。

(2) この数列の第100項目までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群には $n$ が $n$ 個並んでいる。第 $n$ 群の末項は、初項から数えて $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ 項目である。

第100項目が第 $n$ 群に含まれるとすると、

$\frac{(n-1)n}{2} < 100 \le \frac{n(n+1)}{2}$

となる。

$\frac{(n-1)n}{2} < 100$ より $(n-1)n < 200$。

$\frac{n(n+1)}{2} \ge 100$ より $n(n+1) \ge 200$。

$n$ に適当な値を代入して調べる。

$n=13$ のとき $(n-1)n = 12 \times 13 = 156 < 200$ であり、 $n(n+1) = 13 \times 14 = 182 < 200$ となり不適。

$n=14$ のとき $(n-1)n = 13 \times 14 = 182 < 200$ であり、 $n(n+1) = 14 \times 15 = 210 \ge 200$ となり適する。

よって第100項目は第14群に含まれる。

第13群までの項数は $\frac{13 \times 14}{2} = 91$ である。

第100項目は、第14群の $100 - 91 = 9$ 番目であるから、14である。

(2) 第100項目は14なので、第1群から第14群までの和を考える。ただし、第14群はすべて足し合わせる必要はない。

第13群までの和は $\sum_{k=1}^{13} k^2 = \frac{13(13+1)(2\times 13 + 1)}{6} = \frac{13 \times 14 \times 27}{6} = 13 \times 7 \times 9 = 819$。

第14群の最初の9項は $14 \times 9 = 126$。

よって第100項目までの和は $819 + 126 = 945$。

3. 最終的な答え

(1) 14

(2) 945