袋の中に1から10までの番号が書かれた10個のボールが入っている。このボールを1つ取り出し、書いてある番号を確率変数 $X$ とする。このとき、$X$ の分散 $V[X]$ を求める。また、確率変数 $Y = \frac{1}{4}X + 100$ と定義するとき、$Y$ の期待値と分散が、$X$ の期待値と分散に比べてどうなるかを考察する。

1. 問題の内容

袋の中に1から10までの番号が書かれた10個のボールが入っている。このボールを1つ取り出し、書いてある番号を確率変数 $X$ とする。このとき、$X$ の分散 $V[X]$ を求める。また、確率変数 $Y = \frac{1}{4}X + 100$ と定義するとき、$Y$ の期待値と分散が、$X$ の期待値と分散に比べてどうなるかを考察する。

2. 解き方の手順

まず、$X$ は1から10までの一様分布に従う確率変数である。一様分布の期待値と分散の公式を利用して $V[X]$ を求める。

$X$ の期待値 $E[X]$ は、

$E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{10} = \frac{55}{10} = 5.5$

$X^2$ の期待値 $E[X^2]$ は、

$E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2}{10} = \frac{385}{10} = 38.5$

$X$ の分散 $V[X]$ は、

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 38.5 - (5.5)^2 = 38.5 - 30.25 = 8.25$

$V[X] = 8.25 = \frac{825}{100} = \frac{33}{4}$

次に、$Y = \frac{1}{4}X + 100$ の期待値と分散を考える。

$E[Y] = E[\frac{1}{4}X + 100] = \frac{1}{4}E[X] + 100 = \frac{1}{4} \times 5.5 + 100 = 1.375 + 100 = 101.375$

$V[Y] = V[\frac{1}{4}X + 100] = (\frac{1}{4})^2 V[X] = \frac{1}{16} V[X] = \frac{1}{16} \times \frac{33}{4} = \frac{33}{64}$

3. 最終的な答え

$V[X] = \frac{33}{4}$

$E[Y]$ は $E[X]$ よりも大きい。$V[Y]$ は $V[X]$ よりも小さい。