1. 数列の和を求める問題 (1) $12\cdot2, 15\cdot6, 18\cdot10, 21\cdot14, ...$ の第 $n$ 項までの和を求める。 (2) $6, 6+12, 6+12+18, 6+12+18+24, ...$ の第 $n$ 項までの和を求める。 (3) $1, 101, 10101, 1010101, 101010101, ...$ の第 $n$ 項までの和を求める。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

1. 数列の和を求める問題

(1) $12\cdot2, 15\cdot6, 18\cdot10, 21\cdot14, ...$ の第 $n$ 項までの和を求める。

(2) $6, 6+12, 6+12+18, 6+12+18+24, ...$ の第 $n$ 項までの和を求める。

(3) $1, 101, 10101, 1010101, 101010101, ...$ の第 $n$ 項までの和を求める。

2. $\Sigma$ の計算問題

(1) $\sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 16k)$ を求める。

(2) $\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

初項は $12\cdot2 = 24$, 第2項は $15\cdot6 = 90$, 第3項は $18\cdot10 = 180$, 第4項は $21\cdot14 = 294$.

この数列の第 $k$ 項は $(9+3k)(4k-2) = 12k^2 + 30k -18 = 6(2k^2+5k-3)$と表せる。

したがって、第 $n$ 項までの和は

$\sum_{k=1}^{n} (12k^2 + 30k - 18) = 12 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 30 \sum_{k=1}^{n} k - 18 \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 12 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + 30 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) - 18n$

$= 2n(n+1)(2n+1) + 15n(n+1) - 18n$

$= n[2(n+1)(2n+1) + 15(n+1) - 18]$

$= n[2(2n^2+3n+1) + 15n + 15 - 18]$

$= n[4n^2 + 6n + 2 + 15n - 3]$

$= n[4n^2 + 21n - 1]$

(2)

初項は $6$, 第2項は $6+12 = 18$, 第3項は $6+12+18 = 36$, 第4項は $6+12+18+24 = 60$.

この数列の第 $k$ 項は $6 + 12 + 18 + \cdots + 6k = \sum_{i=1}^{k} 6i = 6 \sum_{i=1}^{k} i = 6 \cdot \frac{1}{2}k(k+1) = 3k(k+1)$と表せる。

したがって、第 $n$ 項までの和は

$\sum_{k=1}^{n} 3k(k+1) = 3 \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k$

$= 3 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + 3 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)$

$= \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) + \frac{3}{2}n(n+1)$

$= \frac{1}{2}n(n+1)[2n+1+3]$

$= \frac{1}{2}n(n+1)(2n+4)$

$= n(n+1)(n+2)$

(3)

この数列の第 $n$ 項は $\sum_{k=0}^{n-1} 100^k$と表せる。

したがって、第 $n$ 項までの和は

$\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{i-1} 100^k = \sum_{i=1}^{n} \frac{100^i - 1}{100-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{100^i - 1}{99}$

$= \frac{1}{99} \sum_{i=1}^{n} (100^i - 1) = \frac{1}{99} (\sum_{i=1}^{n} 100^i - \sum_{i=1}^{n} 1)$

$= \frac{1}{99} (\frac{100(100^n - 1)}{100-1} - n) = \frac{1}{99} (\frac{100(100^n - 1)}{99} - n)$

$= \frac{1}{99} (\frac{100^{n+1} - 100}{99} - n) = \frac{100^{n+1} - 100 - 99n}{99^2}$

$= \frac{100^{n+1} - 99n - 100}{9801}$

(4)

$\sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 16k) = 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 16 \sum_{k=1}^{n} k$

$= 4 (\frac{n(n+1)}{2})^2 + 16 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 4 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 8n(n+1)$

$= n^2(n+1)^2 + 8n(n+1) = n(n+1) [n(n+1) + 8] = n(n+1)(n^2+n+8)$

(5)

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1) = 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n = n(n+1)(2n+1) - n$

$= n [(n+1)(2n+1) - 1] = n[2n^2 + 3n + 1 - 1] = n[2n^2+3n] = n^2(2n+3)$

3. 最終的な答え

1. (1) $n(4n^2 + 21n - 1)$

(2) $n(n+1)(n+2)$

(3) $\frac{100^{n+1} - 99n - 100}{9801}$

2. (1) $n(n+1)(n^2+n+8)$

(2) $n^2(2n+3)$