A, B, Cを任意のn次の正則行列とします。$P = ABC$ とするとき、$P^{-1}$ を $A^{-1}, B^{-1}, C^{-1}$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

A, B, Cを任意のn次の正則行列とします。$P = ABC$ とするとき、$P^{-1}$ を $A^{-1}, B^{-1}, C^{-1}$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

行列の積の逆行列の性質を利用します。

一般に、正則行列XとYに対して、

$(XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}$

が成り立ちます。

この性質を拡張して、3つの行列の積の場合に適用します。

$P = ABC$

であるとき、両辺の逆行列を考えると、

$P^{-1} = (ABC)^{-1}$

となります。右辺に上記性質を適用すると、

$(ABC)^{-1} = C^{-1}(AB)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

したがって、

$P^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

3. 最終的な答え

$P^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$