与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{2}{4} \end{bmatrix}$ に対して、核 Ker $A$ の基底を一つ求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{2}{4} \end{bmatrix}$ に対して、核 Ker $A$ の基底を一つ求める。

2. 解き方の手順

Ker $A$ は、 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たすベクトル $\mathbf{x}$ の集合である。ここで $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とすると、

$A \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{2}{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは、$\frac{1}{2}x_1 + \frac{2}{4}x_2 = 0$、つまり $x_1 + x_2 = 0$ を意味する。したがって、$x_1 = -x_2$ である。

よって、$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ と書ける。

したがって、Ker $A$ は $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ によって張られる。

3. 最終的な答え

Ker $A$ の基底は $\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$ である。