与えられた行列の行列式を計算し、その後、その行列の余因子行列の(4,3)成分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算し、その後、その行列の余因子行列の(4,3)成分を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列の行列式を計算します。

行列式は以下の手順で計算されています。

最初の行列は

$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -2 & 2 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{vmatrix}$

この行列の行基本変形を行い、行列式を計算しやすい形にします。

与えられた計算では、行基本変形後の行列式が

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 12 & 2 & 8 & 0 \end{vmatrix}$

となり、これを展開することで計算しています。

$= 1 * (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 12 & 2 & 8 \end{vmatrix} = (-1) \begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 6 & 1 & 4 \end{vmatrix}$

$= 6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 6 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 6 \cdot ((4+36)-(18+2)) = 6*(40-20) = 6*20 = 120$

したがって、行列式は120です。

次に、余因子行列の(4,3)成分$A_{43}$を求めます。これは、元の行列から4行目と3列目を取り除いた行列の行列式に$(-1)^{4+3}$をかけたものです。

したがって、

$A_{43} = (-1)^{4+3} \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -1 \\ 6 & -5 & 2 \end{vmatrix}$

$= -1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -1 \\ 6 & -5 & 2 \end{vmatrix}$

$= -1 * (3*(8-5) - (-1)*(-4+6) + 1*(10-24))$

$= -1*(9+2-14) = -1*(-3) = 3$

よって、 $A_{43} = 3$となります。

問題文に(3.4)成分とあるので、(3,4)成分だとすると、

$A_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ -2 & 4 & 1 \\ -3 & 7 & -2 \end{vmatrix}$

$= -1 * (3*(-8-7) - (-1)*(4+3) + 2*(-14+12))$

$= -1 * (3*(-15) +7 + 2*(-2))$

$= -1*(-45+7-4) = -1*(-42) = 42$

成分は $\frac{A_{43}}{|A|} = \frac{3}{120}$です。

3. 最終的な答え

$A_{43} / |A| = 3/120 = 1/40$

問題文の通り、(4,3)成分を求めたとすると、最終的な答えは $\frac{1}{40}$です。

しかし、問題文に書いてある計算からすると、答えは $-\frac{1}{120} \times (-4) = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$ となります。

問題文中の計算が正しいとすると、最終的な答えは$\frac{1}{30}$です。

ただ行列式の計算が間違っているような気がします。再度計算し直すと、

$(-1) \{ (24+6+10) - (24+15+4) \} = (-1) \{ 40 - 43 \} = 3$

したがって、$A_{43} = 3$ です。

$\frac{A_{43}}{|A|} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$

最終的な答え: $\frac{1}{40}$