## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた行列に関して、以下の問題を解きます。

1. 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

2. 行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ が対角化可能かどうかを判断し、可能であれば対角化します。

3. 行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ を対角化し、それを利用して $A^n$ を求めます。

4. 実対称行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ を直交行列によって対角化します。

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2. 解き方の手順

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1. 固有値と固有ベクトルの計算

1. **固有方程式を立てる:** 行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式は $\text{det}(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで $I$ は単位行列です。

$\text{det}\begin{pmatrix} 2-\lambda & -3 & 3 \\ 1 & -2-\lambda & 3 \\ 1 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0$

2. **固有方程式を解く:** 上記の行列式を計算し、$\lambda$ について解きます。

$(2-\lambda)[(-2-\lambda)(2-\lambda) - (-3)] - (-3)[(2-\lambda) - 3] + 3[-1 - (-2-\lambda)] = 0$

$(2-\lambda)(\lambda^2 - 4 + 3) + 3(\lambda - 1) + 3(1+\lambda) = 0$

$(2-\lambda)(\lambda^2 - 1) + 3\lambda - 3 + 3 + 3\lambda = 0$

$-\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda^2 - 2 + 6\lambda = 0$

$-\lambda^3 + 3\lambda^2 + 4\lambda = 0$

$-\lambda (\lambda^2 - 3\lambda - 4) = 0$

$-\lambda (\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 4, \lambda_3 = -1$ です。

3. **固有ベクトルを求める:** 各固有値に対して、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求めます。

* $\lambda_1 = 0$:

$\begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

解は $v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.

* $\lambda_2 = 4$:

$\begin{pmatrix} -2 & -3 & 3 \\ 1 & -6 & 3 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

解は $v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

* $\lambda_3 = -1$:

$\begin{pmatrix} 3 & -3 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

解は $v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1/3 \end{pmatrix}$ or $v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

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2. 行列の対角化可能性の判定と対角化

1. **対角化可能性の判定:** 行列 $A$ が対角化可能であるための必要十分条件は、線形独立な固有ベクトルが $n$ 個存在することです（$n$ は行列のサイズ）。

* **ヒント:** 固有ベクトルが3つあれば対角化可能。

2. **対角化:** 対角化可能な場合、固有ベクトルを並べて行列 $P$ を作り、$A$ を対角化する行列とします。$P^{-1}AP = D$ (対角行列)となります。

$A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

特性方程式は、

$\det(A - \lambda I) = (6-\lambda)((3-\lambda)(-\lambda) + 2) - 2(2(-\lambda)+2) - 2(4 - 2(3-\lambda))=0$

$(6-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda +2) - 2(-2\lambda +2) - 2(-2+2\lambda)=0$

$6\lambda^2 -18\lambda + 12 -\lambda^3 + 3\lambda^2 -2\lambda +4\lambda -4 +4-4\lambda = 0$

$-\lambda^3 + 9\lambda^2 - 20 \lambda +12 = 0$

$(\lambda - 6)(\lambda - 2)(\lambda - 1) = 0$

固有値は、$\lambda = 6, 2, 1$ です。固有値が異なるので、対角化可能です。

固有ベクトルを求めます。

$\lambda = 6$:

$(A - 6I) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 2 & -3 & -1 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=0$

$v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda = 2$:

$(A - 2I) = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=0$

$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda = 1$:

$(A - I) = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=0$

$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

したがって、$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$P^{-1}AP = D$ が成立。

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3. 対角化を利用した $A^n$ の計算

1. **対角化の利用:** $A = PDP^{-1}$ と表せる場合、$A^n = PD^nP^{-1}$ となります。

$D^n$ は対角成分を $n$ 乗するだけで計算できます。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(4-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$

$\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 2$

$\lambda_1 = 5$:

$\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$, $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 2$:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$P^{-1} = -\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$A^n = PD^nP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 5^n+2^{n+1} & 5^n - 2^n \\ 2*5^n - 2^{n+1} & 2*5^n + 2^n \end{pmatrix}$

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4. 実対称行列の直交行列による対角化

1. **固有値と固有ベクトルを求める:** 上記 1 と同様の手順で固有値と固有ベクトルを求めます。

2. **直交行列を作る:** 固有ベクトルを正規化し、互いに直交な固有ベクトルを選びます。これらを列ベクトルとして並べた行列 $P$ が直交行列となります。$P^T A P = D$ （対角行列）が成立します。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) -1(2-\lambda-1) + 1(1-2+\lambda) = 0$

$(2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) - (1-\lambda) + (-1+\lambda) = 0$

$(2-\lambda)(\lambda-3)(\lambda-1) + 2\lambda - 2 = 0$

$-\lambda^3 +6\lambda^2 - 11\lambda + 6 + 2\lambda - 2 = 0$

$-\lambda^3 + 6\lambda^2 - 9\lambda + 4 = 0$

$(\lambda - 1)^2 (4-\lambda) = 0$

$\lambda = 1,1,4$

$\lambda = 4$

$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} = 0$

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda = 1$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 0$

$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

グラムシュミットの正規直交化を行う

$u_1 = v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$u_2 = v_3 - \frac{v_3 \cdot u_1}{||u_1||^2} u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

正規化を行う。

$v_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$v_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

したがって、$P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{3} & 0 & -2/\sqrt{6} \end{pmatrix}$

$D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

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3. 最終的な答え

各問題の答えは以下の通りです。

1. 固有値: $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 4, \lambda_3 = -1$

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. 対角化可能。

$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. $A^n = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 5^n+2^{n+1} & 5^n - 2^n \\ 2*5^n - 2^{n+1} & 2*5^n + 2^n \end{pmatrix}$

4. $P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{3} & 0 & -2/\sqrt{6} \end{pmatrix}$

$D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$