与えられた累乗根の式を簡略化する問題です。具体的には、以下の4つの式を簡略化します。 (1) $\sqrt{3}\sqrt{27}$ (2) $\sqrt[5]{4(\sqrt[5]{2})^3}$ (3) $\sqrt[3]{4\sqrt[3]{16}}$ (4) $\frac{\sqrt[3]{405}}{\sqrt[3]{15}}$

1. 問題の内容

与えられた累乗根の式を簡略化する問題です。具体的には、以下の4つの式を簡略化します。

(1) $\sqrt{3}\sqrt{27}$

(2) $\sqrt[5]{4(\sqrt[5]{2})^3}$

(3) $\sqrt[3]{4\sqrt[3]{16}}$

(4) $\frac{\sqrt[3]{405}}{\sqrt[3]{15}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}\sqrt{27}$

まず、$\sqrt{27}$を簡略化します。$\sqrt{27}=\sqrt{3^3}=\sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

したがって、

$\sqrt{3}\sqrt{27} = \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 3 \cdot (\sqrt{3})^2 = 3 \cdot 3 = 9$

(2) $\sqrt[5]{4(\sqrt[5]{2})^3}$

$\sqrt[5]{4(\sqrt[5]{2})^3} = \sqrt[5]{4 \cdot 2^{3/5}} = \sqrt[5]{2^2 \cdot 2^{3/5}} = \sqrt[5]{2^{2 + 3/5}} = \sqrt[5]{2^{13/5}} = 2^{13/25}$

(3) $\sqrt[3]{4\sqrt[3]{16}}$

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$

したがって、

$\sqrt[3]{4\sqrt[3]{16}} = \sqrt[3]{4 \cdot 2\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{8\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{2^3\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}} = 2 \cdot \sqrt[9]{2} = 2\sqrt[9]{2}$

(4) $\frac{\sqrt[3]{405}}{\sqrt[3]{15}}$

$\frac{\sqrt[3]{405}}{\sqrt[3]{15}} = \sqrt[3]{\frac{405}{15}} = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) $2^{\frac{13}{25}}$

(3) $2\sqrt[9]{2}$

(4) 3