与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) 固有方程式を立てる。固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ で与えられる。ここで $\lambda$ は固有値であり、$I$ は単位行列である。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & -3 & 3 \\ 1 & -2-\lambda & 3 \\ 1 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}$

固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ は次のように計算される。

$\begin{vmatrix} 2-\lambda & -3 & 3 \\ 1 & -2-\lambda & 3 \\ 1 & -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)((-2-\lambda)(2-\lambda) - (-3)) - (-3)(1(2-\lambda) - 3) + 3(1(-1) - (-2-\lambda)) = 0$

$(2-\lambda)(-4 + \lambda^2 + 3) + 3(2-\lambda - 3) + 3(-1 + 2 + \lambda) = 0$

$(2-\lambda)(\lambda^2 - 1) + 3(-1-\lambda) + 3(1+\lambda) = 0$

$2\lambda^2 - 2 - \lambda^3 + \lambda - 3 - 3\lambda + 3 + 3\lambda = 0$

$-\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$

$\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2 = 0$

(2) 固有方程式を解く。

$\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2 = 0$

$\lambda^2(\lambda - 2) - (\lambda - 2) = 0$

$(\lambda^2 - 1)(\lambda - 2) = 0$

$(\lambda - 1)(\lambda + 1)(\lambda - 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$, $\lambda_3 = 2$ である。

(3) 各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

(i) $\lambda_1 = 1$ のとき、$(A - I)v_1 = 0$ を解く。

$A - I = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - 3y + 3z = 0$

$x - y + z = 0$

$2y - 2z = 0$

$y = z$

$x = y - z = 0$

$v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(ii) $\lambda_2 = -1$ のとき、$(A + I)v_2 = 0$ を解く。

$A + I = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & -3 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - y + z = 0$

$y = x + z$

Let $x=1, z=0$. then $y=1$.

Let $x=0, z=1$. then $y=1$.

$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(iii) $\lambda_3 = 2$ のとき、$(A - 2I)v_3 = 0$ を解く。

$A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 1 & -4 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 1 & -4 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3y + 3z = 0$

$x - 4y + 3z = 0$

$x - y = 0$

$y = z$

$x = y$

$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$, $\lambda_3 = 2$

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$