与えられた連立方程式の解のうち、$x_1$の値をクラメルの公式を用いて求める問題です。連立方程式は以下の通りです。 $2x_1 - x_2 = 3$ $-x_1 + 2x_2 - x_3 = -2$ $-x_2 + 2x_3 - x_4 = 0$ $-x_3 + 2x_4 = 0$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式の解のうち、$x_1$の値をクラメルの公式を用いて求める問題です。連立方程式は以下の通りです。

$2x_1 - x_2 = 3$

$-x_1 + 2x_2 - x_3 = -2$

$-x_2 + 2x_3 - x_4 = 0$

$-x_3 + 2x_4 = 0$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を行列で表現します。

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

次に、係数行列をAとします。

$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

Aの行列式|A|を計算します（サラスの公式は使いません）。

$|A| = 2 \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4-1) - (-1)(-2-0) + 0 = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -1(4-1) = -3$

$|A| = 2(4) + (-3) = 8 - 3 = 5$

次に、$x_1$を求めるために、$A$の第1列を右辺のベクトルで置き換えた行列$A_1$を作ります。

$A_1 = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

$|A_1|$を計算します。

$|A_1| = 3 \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} -2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4$ (上記と同じ)

$\begin{vmatrix} -2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -2(4-1) = -2(3) = -6$

$|A_1| = 3(4) + (-6) = 12 - 6 = 6$

クラメルの公式より、$x_1 = \frac{|A_1|}{|A|}$

$x_1 = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

$x_1 = \frac{6}{5}$