1次関数 $y = ax + b$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $-3 \le y \le 7$ となる。このとき、考えられる $a$, $b$ の値の組をすべて求める。

1. 問題の内容

1次関数 $y = ax + b$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $-3 \le y \le 7$ となる。このとき、考えられる $a$, $b$ の値の組をすべて求める。

2. 解き方の手順

$a$ の符号によって場合分けを行う。

(i) $a > 0$ のとき

$x$ が増加すると $y$ も増加するので、

$x = -2$ のとき $y = -3$

$x = 3$ のとき $y = 7$

となる。したがって、以下の連立方程式が成り立つ。

$$$$

\begin{cases}

-2a + b = -3 \\

3a + b = 7

\end{cases}

$$$$

この連立方程式を解くと、

$5a = 10$ より $a = 2$。

$-2(2) + b = -3$ より $b = 1$。

よって、$a = 2$, $b = 1$。

(ii) $a < 0$ のとき

$x$ が増加すると $y$ は減少するので、

$x = -2$ のとき $y = 7$

$x = 3$ のとき $y = -3$

となる。したがって、以下の連立方程式が成り立つ。

$$$$

\begin{cases}

-2a + b = 7 \\

3a + b = -3

\end{cases}

$$$$

この連立方程式を解くと、

$-5a = 10$ より $a = -2$。

$-2(-2) + b = 7$ より $b = 3$。

よって、$a = -2$, $b = 3$。

(iii) $a=0$のとき

$y=b$となり、$y$の値域は一点となるため、条件に合わない。

3. 最終的な答え

$a=2$, $b=1$ または $a=-2$, $b=3$