次の2つの式をそれぞれ簡単にする問題です。 (1) $\sum_{k=0}^{n} 2^{k} {}_n C_k$ (2) $\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} {}_n C_k$

1. 問題の内容

次の2つの式をそれぞれ簡単にする問題です。

(1) $\sum_{k=0}^{n} 2^{k} {}_n C_k$

(2) $\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} {}_n C_k$

2. 解き方の手順

(1) 二項定理 $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k x^k$ を利用します。

$x = 2$ を代入すると、

$(1+2)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k 2^k = \sum_{k=0}^{n} 2^{k} {}_n C_k$

よって、$\sum_{k=0}^{n} 2^{k} {}_n C_k = 3^n$

(2) 二項定理 $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k x^k$ を利用します。

$x = -1$ を代入すると、

$(1+(-1))^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (-1)^k = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} {}_n C_k$

よって、$\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} {}_n C_k = 0^n = 0$

3. 最終的な答え

(1) $3^n$

(2) $0$