次の同次連立1次方程式の解を求めよ。 (1) $\begin{cases} x - 2y - 3z = 0 \\ 2x + 3y + 4z = 0 \\ 3x - 4y - 7z = 0 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 - 4x_4 = 0 \\ 2x_1 + 3x_2 - 5x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 - 3x_4 = 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の同次連立1次方程式の解を求めよ。

(1) $\begin{cases} x - 2y - 3z = 0 \\ 2x + 3y + 4z = 0 \\ 3x - 4y - 7z = 0 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 - 4x_4 = 0 \\ 2x_1 + 3x_2 - 5x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 - 3x_4 = 0 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた連立方程式を行列で表現する。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & -4 & -7 \end{pmatrix}$

この行列を簡約化するために、行基本変形を行う。

2行目から1行目の2倍を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 7 & 10 \\ 3 & -4 & -7 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 7 & 10 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

3行目を2で割る:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 7 & 10 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替える:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 7 & 10 \end{pmatrix}$

2行目の7倍を3行目から引く:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

3行目を3で割る:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から3行目を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目に3行目の3倍を足す:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目に2行目の2倍を足す:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

よって、$x = 0, y = 0, z = 0$

(2)

同様に、行列で表現する。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -5 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & 6 & 10 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

4行目から1行目を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & 6 & 10 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2行目に-1をかける:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & -3 & 6 & 10 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の3倍を足す:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

4行目に2行目を足す:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

4行目に3行目の2倍を足す:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1行目に3行目の4倍を足す:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2行目に3行目の3倍を足す:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引く:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x_1 + 3x_3 = 0$, $x_2 - 2x_3 = 0$, $x_4 = 0$

$x_1 = -3x_3$, $x_2 = 2x_3$, $x_4 = 0$.

3. 最終的な答え

(1) $x=0$, $y=0$, $z=0$

(2) $x_1 = -3x_3$, $x_2 = 2x_3$, $x_4 = 0$ (ここで$x_3$は任意)