与えられた多項式の積を展開する問題です。具体的には以下の式を展開します。 (3) $(x^2-2xy-y^2)(x-3y)$ (4) $(x^2-3x+5)(2x^2-5x+1)$ (5) $(2x^2-3xy-y^2)(3x^2-2xy+y^2)$

1. 問題の内容

与えられた多項式の積を展開する問題です。具体的には以下の式を展開します。

(3) $(x^2-2xy-y^2)(x-3y)$

(4) $(x^2-3x+5)(2x^2-5x+1)$

(5) $(2x^2-3xy-y^2)(3x^2-2xy+y^2)$

2. 解き方の手順

(3) $(x^2-2xy-y^2)(x-3y)$ を展開します。

$x^2$ に $(x-3y)$ をかけます：

$x^2(x-3y) = x^3 - 3x^2y$

$-2xy$ に $(x-3y)$ をかけます：

$-2xy(x-3y) = -2x^2y + 6xy^2$

$-y^2$ に $(x-3y)$ をかけます：

$-y^2(x-3y) = -xy^2 + 3y^3$

これらをすべて足し合わせます。

$x^3 - 3x^2y - 2x^2y + 6xy^2 - xy^2 + 3y^3$

同類項をまとめます。

$x^3 - 5x^2y + 5xy^2 + 3y^3$

(4) $(x^2-3x+5)(2x^2-5x+1)$ を展開します。

$x^2$ に $(2x^2-5x+1)$ をかけます：

$x^2(2x^2-5x+1) = 2x^4 - 5x^3 + x^2$

$-3x$ に $(2x^2-5x+1)$ をかけます：

$-3x(2x^2-5x+1) = -6x^3 + 15x^2 - 3x$

$5$ に $(2x^2-5x+1)$ をかけます：

$5(2x^2-5x+1) = 10x^2 - 25x + 5$

これらをすべて足し合わせます。

$2x^4 - 5x^3 + x^2 - 6x^3 + 15x^2 - 3x + 10x^2 - 25x + 5$

同類項をまとめます。

$2x^4 - 11x^3 + 26x^2 - 28x + 5$

(5) $(2x^2-3xy-y^2)(3x^2-2xy+y^2)$ を展開します。

$2x^2$ に $(3x^2-2xy+y^2)$ をかけます：

$2x^2(3x^2-2xy+y^2) = 6x^4 - 4x^3y + 2x^2y^2$

$-3xy$ に $(3x^2-2xy+y^2)$ をかけます：

$-3xy(3x^2-2xy+y^2) = -9x^3y + 6x^2y^2 - 3xy^3$

$-y^2$ に $(3x^2-2xy+y^2)$ をかけます：

$-y^2(3x^2-2xy+y^2) = -3x^2y^2 + 2xy^3 - y^4$

これらをすべて足し合わせます。

$6x^4 - 4x^3y + 2x^2y^2 - 9x^3y + 6x^2y^2 - 3xy^3 - 3x^2y^2 + 2xy^3 - y^4$

同類項をまとめます。

$6x^4 - 13x^3y + 5x^2y^2 - xy^3 - y^4$

3. 最終的な答え

(3) $x^3 - 5x^2y + 5xy^2 + 3y^3$

(4) $2x^4 - 11x^3 + 26x^2 - 28x + 5$

(5) $6x^4 - 13x^3y + 5x^2y^2 - xy^3 - y^4$