与えられた2次不等式を解く問題です。 具体的には、 (3) $x^2 + 6x + 9 > 0$ (4) $4x^2 + 4x + 1 < 0$ (7) $x^2 + 4x + 8 > 0$ の3つの不等式を解きます。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式を解く問題です。

具体的には、

(3) $x^2 + 6x + 9 > 0$

(4) $4x^2 + 4x + 1 < 0$

(7) $x^2 + 4x + 8 > 0$

の3つの不等式を解きます。

2. 解き方の手順

(3) $x^2 + 6x + 9 > 0$

左辺を因数分解すると、

$(x+3)^2 > 0$

$x = -3$ を除いて、すべての実数でこの不等式は成り立ちます。

(4) $4x^2 + 4x + 1 < 0$

左辺を因数分解すると、

$(2x+1)^2 < 0$

実数の二乗は常に0以上なので、この不等式を満たす実数 $x$ は存在しません。

(7) $x^2 + 4x + 8 > 0$

解の公式を用いて $x^2+4x+8=0$ の解を求めます。

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot 1 \cdot 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-4 \pm 4i}{2} = -2 \pm 2i$

判別式 $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16 < 0$ なので、$x^2 + 4x + 8$ は常に正の値をとります。したがって、すべての実数 $x$ で $x^2 + 4x + 8 > 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(3) $x \neq -3$

(4) 解なし

(7) すべての実数