(1) 連続する3つの偶数2n, 2n+2, 2n+4において、真ん中の数を7倍した数から最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数を引いた差は、6の倍数になることを証明する。 (2) 連続する4つの整数n, n+1, n+2, n+3において、それらの和が、最も小さい整数nと最も大きい整数n+3の和の2倍に等しくなることを証明する。

1. 問題の内容

(1) 連続する3つの偶数2n, 2n+2, 2n+4において、真ん中の数を7倍した数から最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数を引いた差は、6の倍数になることを証明する。

(2) 連続する4つの整数n, n+1, n+2, n+3において、それらの和が、最も小さい整数nと最も大きい整数n+3の和の2倍に等しくなることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 連続する3つの偶数を $2n, 2n+2, 2n+4$ とする。真ん中の数を7倍した数は $7(2n+2) = 14n + 14$。最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数は $2(2n + 2n + 4) = 2(4n + 4) = 8n + 8$。この差は $(14n + 14) - (8n + 8) = 6n + 6 = 6(n+1)$ であり、$n+1$ は整数なので、$6(n+1)$ は6の倍数である。

(2) 連続する4つの整数を $n, n+1, n+2, n+3$ とする。これらの和は $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6$。最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍は $2(n + n+3) = 2(2n+3) = 4n + 6$。したがって、連続する4つの整数の和は、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍に等しい。

3. 最終的な答え

(1) 連続する3つの偶数において、真ん中の数を7倍した数から最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数を引いた差は、6の倍数になる。

(2) 連続する4つの整数において、それらの和は、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍に等しい。