2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^6 + \beta^6$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^6 + \beta^6$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求めます。

$x^2 - 2x + 3 = 0$ において、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha\beta = 3$

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めます。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 2^2 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$

次に、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めます。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) = 2(2^2 - 3 \cdot 3) = 2(4 - 9) = 2(-5) = -10$

最後に、$\alpha^6 + \beta^6$ の値を求めます。

$\alpha^6 + \beta^6 = (\alpha^3)^2 + (\beta^3)^2 = (\alpha^3 + \beta^3)^2 - 2(\alpha\beta)^3 = (-10)^2 - 2 \cdot 3^3 = 100 - 2 \cdot 27 = 100 - 54 = 46$

3. 最終的な答え

$\alpha^6 + \beta^6 = 46$