問題は、与えられた行列CとDに対して、交換子積 [C, D] = CD - DC を計算することです。行列CとDはそれぞれ以下の通りです。 $C = \begin{pmatrix} \cos \psi & -\sin \psi & 0 \\ \sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた行列CとDに対して、交換子積 [C, D] = CD - DC を計算することです。行列CとDはそれぞれ以下の通りです。

$C = \begin{pmatrix} \cos \psi & -\sin \psi & 0 \\ \sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列の積CDとDCを計算します。その後、CD - DCを計算します。

ステップ1: CDを計算する。

$CD = \begin{pmatrix} \cos \psi & -\sin \psi & 0 \\ \sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

$CD = \begin{pmatrix} \cos \psi & -\sin \psi \cos \theta & -\sin \psi \sin \theta \\ \sin \psi & \cos \psi \cos \theta & \cos \psi \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

ステップ2: DCを計算する。

$DC = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \psi & -\sin \psi & 0 \\ \sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$DC = \begin{pmatrix} \cos \psi & -\sin \psi & 0 \\ \cos \theta \sin \psi & \cos \theta \cos \psi & \sin \theta \\ -\sin \theta \sin \psi & -\sin \theta \cos \psi & \cos \theta \end{pmatrix}$

ステップ3: CD - DCを計算する。

$CD - DC = \begin{pmatrix} \cos \psi & -\sin \psi \cos \theta & -\sin \psi \sin \theta \\ \sin \psi & \cos \psi \cos \theta & \cos \psi \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \cos \psi & -\sin \psi & 0 \\ \cos \theta \sin \psi & \cos \theta \cos \psi & \sin \theta \\ -\sin \theta \sin \psi & -\sin \theta \cos \psi & \cos \theta \end{pmatrix}$

$CD - DC = \begin{pmatrix} 0 & -\sin \psi \cos \theta + \sin \psi & -\sin \psi \sin \theta \\ \sin \psi - \cos \theta \sin \psi & \cos \psi \cos \theta - \cos \theta \cos \psi & \cos \psi \sin \theta - \sin \theta \\ \sin \theta \sin \psi & -\sin \theta + \sin \theta \cos \psi & 0 \end{pmatrix}$

$CD - DC = \begin{pmatrix} 0 & \sin \psi (1-\cos \theta) & -\sin \psi \sin \theta \\ \sin \psi (1 - \cos \theta) & 0 & \sin \theta (\cos \psi - 1) \\ \sin \theta \sin \psi & \sin \theta (\cos \psi - 1) & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$[C, D] = \begin{pmatrix} 0 & \sin \psi (1-\cos \theta) & -\sin \psi \sin \theta \\ \sin \psi (1 - \cos \theta) & 0 & \sin \theta (\cos \psi - 1) \\ \sin \theta \sin \psi & \sin \theta (\cos \psi - 1) & 0 \end{pmatrix}$