すべての実数 $x$ に対して、不等式 $(a-1)x^2 - 2(a-1)x + 3 \geq 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $(a-1)x^2 - 2(a-1)x + 3 \geq 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a-1$ の符号によって場合分けする。

(i) $a-1 = 0$ のとき、すなわち $a=1$ のとき：

不等式は $0x^2 - 2(0)x + 3 \geq 0$ となり、$3 \geq 0$ となる。これは常に成り立つので、$a=1$ は条件を満たす。

(ii) $a-1 > 0$ のとき、すなわち $a > 1$ のとき：

2次不等式 $(a-1)x^2 - 2(a-1)x + 3 \geq 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つためには、判別式 $D$ が $D \leq 0$ であればよい。

判別式 $D$ は、

$D/4 = (a-1)^2 - 3(a-1) = (a-1)(a-1-3) = (a-1)(a-4)$

$D/4 \leq 0$ より、$(a-1)(a-4) \leq 0$。

これを解くと、$1 \leq a \leq 4$。

$a > 1$ と $1 \leq a \leq 4$ を合わせて、$1 < a \leq 4$。

(iii) $a-1 < 0$ のとき、すなわち $a < 1$ のとき：

2次不等式 $(a-1)x^2 - 2(a-1)x + 3 \geq 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つことはない。なぜなら、 $x$ が十分に大きいとき、 $(a-1)x^2$ の項が支配的になり、不等式は $(a-1)x^2 > 0$ となるから。しかし、$a-1 < 0$ であるから、 $(a-1)x^2 < 0$ となり、不等式は成り立たない。

したがって、(i) と (ii) を合わせて、$1 \leq a \leq 4$ となる。

3. 最終的な答え

$1 \leq a \leq 4$