2次方程式 $x^2 - (m+1)x + m = 0$ の2つの解のうち、一方の解がもう一方の解の2乗であるとき、定数 $m$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (m+1)x + m = 0$ の2つの解のうち、一方の解がもう一方の解の2乗であるとき、定数 $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha$、$\alpha^2$ とおく。解と係数の関係より、以下の2式が成り立つ。

$\alpha + \alpha^2 = m+1$

$\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = m$

1つ目の式から $m = \alpha + \alpha^2 - 1$ が得られる。これを2つ目の式に代入すると、

$\alpha^3 = \alpha + \alpha^2 - 1$

$\alpha^3 - \alpha^2 - \alpha + 1 = 0$

この3次方程式を解く。左辺を因数分解すると、

$(\alpha - 1)(\alpha^2 - 1) = 0$

$(\alpha - 1)(\alpha - 1)(\alpha + 1) = 0$

$(\alpha - 1)^2 (\alpha + 1) = 0$

したがって、$\alpha = 1$ または $\alpha = -1$

(1) $\alpha = 1$ のとき、 $m = \alpha^3 = 1^3 = 1$

(2) $\alpha = -1$ のとき、 $m = \alpha^3 = (-1)^3 = -1$

よって、$m = 1, -1$

3. 最終的な答え

$m = 1, -1$