与えられた数列の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。 数列は $\frac{3}{1^2}, \frac{5}{1^2+2^2}, \frac{7}{1^2+2^2+3^2}, \frac{9}{1^2+2^2+3^2+4^2}, ...$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた数列の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

数列は $\frac{3}{1^2}, \frac{5}{1^2+2^2}, \frac{7}{1^2+2^2+3^2}, \frac{9}{1^2+2^2+3^2+4^2}, ...$ で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、一般項 $a_n$ を求めます。

分子は、初項が3、公差が2の等差数列なので、$2n+1$ と表せます。

分母は、$1^2$ から $n^2$ までの和なので、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と表せます。

よって、一般項 $a_n$ は、

$a_n = \frac{2n+1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$ となります。

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{6}{k(k+1)}$ となります。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ であることを利用すると、

$S_n = 6 \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$ となります。

これは、階差の和なので、

$S_n = 6 [(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})] = 6(1 - \frac{1}{n+1}) = 6(\frac{n+1-1}{n+1}) = \frac{6n}{n+1}$ となります。

3. 最終的な答え

一般項：$a_n = \frac{6}{n(n+1)}$

和：$S_n = \frac{6n}{n+1}$