次の連立一次方程式の解を求めます。 $\begin{cases} x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5x_4 = 6 \\ 2x_1 + 6x_2 + 3x_3 - 8x_4 + x_5 = 3 \\ x_1 + 3x_2 - x_4 + x_5 = -4 \\ 3x_1 + 9x_2 + 3x_3 - 9x_4 + x_5 = 7 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立一次方程式の解を求めます。

$\begin{cases}

x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5x_4 = 6 \\

2x_1 + 6x_2 + 3x_3 - 8x_4 + x_5 = 3 \\

x_1 + 3x_2 - x_4 + x_5 = -4 \\

3x_1 + 9x_2 + 3x_3 - 9x_4 + x_5 = 7

\end{cases}$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を解くために、ガウスの消去法を使用します。まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 & -5 & 0 & 6 \\

2 & 6 & 3 & -8 & 1 & 3 \\

1 & 3 & 0 & -1 & 1 & -4 \\

3 & 9 & 3 & -9 & 1 & 7

\end{bmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 & -5 & 0 & 6 \\

0 & 0 & -1 & 2 & 1 & -9 \\

1 & 3 & 0 & -1 & 1 & -4 \\

3 & 9 & 3 & -9 & 1 & 7

\end{bmatrix}$

3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 & -5 & 0 & 6 \\

0 & 0 & -1 & 2 & 1 & -9 \\

0 & 0 & -2 & 4 & 1 & -10 \\

3 & 9 & 3 & -9 & 1 & 7

\end{bmatrix}$

4行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 & -5 & 0 & 6 \\

0 & 0 & -1 & 2 & 1 & -9 \\

0 & 0 & -2 & 4 & 1 & -10 \\

0 & 0 & -3 & 6 & 1 & -11

\end{bmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 & -5 & 0 & 6 \\

0 & 0 & -1 & 2 & 1 & -9 \\

0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 8 \\

0 & 0 & -3 & 6 & 1 & -11

\end{bmatrix}$

4行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 & -5 & 0 & 6 \\

0 & 0 & -1 & 2 & 1 & -9 \\

0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 8 \\

0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 16

\end{bmatrix}$

4行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 & -5 & 0 & 6 \\

0 & 0 & -1 & 2 & 1 & -9 \\

0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 8 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

3行目を -1 で割ります。

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 & -5 & 0 & 6 \\

0 & 0 & -1 & 2 & 1 & -9 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -8 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

2行目から3行目を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 & -5 & 0 & 6 \\

0 & 0 & -1 & 2 & 0 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -8 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

2行目を -1 で割ります。

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 & -5 & 0 & 6 \\

0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -8 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & 0 & -1 & 0 & 4 \\

0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -8 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

$x_2 = s$ および $x_4 = t$ とすると、$x_1 = 4 - 3s + t$, $x_3 = 1 + 2t$, $x_5 = -8$.

3. 最終的な答え

$\begin{cases}

x_1 = 4 - 3s + t \\

x_2 = s \\

x_3 = 1 + 2t \\

x_4 = t \\

x_5 = -8

\end{cases}$

ここで、$s$ と $t$ は任意の実数です。