$n$を自然数とします。次の2つの2x2行列$A$に対して、$A^n$を求めます。 (1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

$n$を自然数とします。次の2つの2x2行列$A$に対して、$A^n$を求めます。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)の行列について

まず、$A$の固有値を求めます。

固有方程式は、

$|A-\lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$

したがって、固有値は$\lambda_1 = 3$と$\lambda_2 = -1$です。

次に、各固有値に対する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 3$の場合:

$(A - 3I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + 2y = 0$なので、$x = y$。よって、固有ベクトルは$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$とすることができます。

$\lambda_2 = -1$の場合:

$(A + I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 2y = 0$なので、$x = -y$。よって、固有ベクトルは$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$とすることができます。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$とすると、$P^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$となります。

$D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$とすると、$A = PDP^{-1}$なので、$A^n = PD^nP^{-1}$となります。

$D^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n & (-1)^n \\ 3^n & -(-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix}$

(2)の行列について

$A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

まず、$A$の固有値を求めます。

固有方程式は、

$|A-\lambda I| = \begin{vmatrix} 4-\lambda & -2 \\ -2 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 5\lambda = \lambda(\lambda - 5) = 0$

したがって、固有値は$\lambda_1 = 5$と$\lambda_2 = 0$です。

次に、各固有値に対する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 5$の場合:

$(A - 5I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x - 2y = 0$なので、$x = -2y$。よって、固有ベクトルは$v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$とすることができます。

$\lambda_2 = 0$の場合:

$(A - 0I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x - 2y = 0$なので、$y = 2x$。よって、固有ベクトルは$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$とすることができます。

$P = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$とすると、$P^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$となります。

$D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$とすると、$A = PDP^{-1}$なので、$A^n = PD^nP^{-1}$となります。

$D^n = \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2\cdot5^n & 0 \\ 5^n & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4\cdot5^n & -2\cdot5^n \\ -2\cdot5^n & 5^n \end{pmatrix} = 5^{n-1}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^n = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix}$

(2) $A^n = 5^{n-1}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$