問題は以下の2つです。 (1) $\left\{(9+4\sqrt{5})^n+(9-4\sqrt{5})^n\right\}^2 - \left\{(9+4\sqrt{5})^n-(9-4\sqrt{5})^n\right\}^2$ を簡単にせよ。 (2) $\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{2p} + \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{2p}$ を簡単にせよ。 ただし、$p$ は奇数。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $\left\{(9+4\sqrt{5})^n+(9-4\sqrt{5})^n\right\}^2 - \left\{(9+4\sqrt{5})^n-(9-4\sqrt{5})^n\right\}^2$ を簡単にせよ。

(2) $\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{2p} + \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{2p}$ を簡単にせよ。 ただし、$p$ は奇数。

2. 解き方の手順

(1) の解き方

$A = (9+4\sqrt{5})^n$、$B = (9-4\sqrt{5})^n$ とおくと、与えられた式は

$(A+B)^2 - (A-B)^2$ となります。

展開すると、

$(A^2+2AB+B^2) - (A^2-2AB+B^2) = 4AB$

したがって、

$4(9+4\sqrt{5})^n (9-4\sqrt{5})^n = 4 \left( (9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5}) \right)^n = 4 (81 - 16 \cdot 5)^n = 4(81-80)^n = 4(1)^n = 4$

(2) の解き方

$\frac{1+i}{\sqrt{2}} = \cos{\frac{\pi}{4}} + i \sin{\frac{\pi}{4}} = e^{i\frac{\pi}{4}}$

$\frac{1-i}{\sqrt{2}} = \cos{\frac{-\pi}{4}} + i \sin{\frac{-\pi}{4}} = e^{-i\frac{\pi}{4}}$

したがって、

$\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{2p} = \left(e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{2p} = e^{i\frac{\pi}{2}p} = \cos{\frac{\pi}{2}p} + i\sin{\frac{\pi}{2}p}$

$\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{2p} = \left(e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^{2p} = e^{-i\frac{\pi}{2}p} = \cos{\frac{-\pi}{2}p} + i\sin{\frac{-\pi}{2}p} = \cos{\frac{\pi}{2}p} - i\sin{\frac{\pi}{2}p}$

よって、

$\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{2p} + \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{2p} = \cos{\frac{\pi}{2}p} + i\sin{\frac{\pi}{2}p} + \cos{\frac{\pi}{2}p} - i\sin{\frac{\pi}{2}p} = 2\cos{\frac{\pi}{2}p}$

ここで、$p$は奇数なので、$p = 2k+1$ ($k$は整数)とおける。すると、

$2\cos{\frac{\pi}{2}(2k+1)} = 2\cos{\left(k\pi + \frac{\pi}{2}\right)} = 2\left( \cos{k\pi}\cos{\frac{\pi}{2}} - \sin{k\pi}\sin{\frac{\pi}{2}} \right) = 2(0 - 0) = 0$.

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 0