(1) $\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ (ただし、$xyz \neq 0$) のとき、$\frac{x^3 + y^3 + z^3}{xyz}$ の値を求める。 (2) $x:y:z = 6:2:3$ のとき、$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + zx}$ の値を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) $\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ (ただし、$xyz \neq 0$) のとき、$\frac{x^3 + y^3 + z^3}{xyz}$ の値を求める。

(2) $x:y:z = 6:2:3$ のとき、$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + zx}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k$ とおく (ただし、$k \neq 0$)。

すると、$x = 4k, y = 3k, z = 5k$ となる。

これらを $\frac{x^3 + y^3 + z^3}{xyz}$ に代入すると、

$\frac{(4k)^3 + (3k)^3 + (5k)^3}{(4k)(3k)(5k)} = \frac{64k^3 + 27k^3 + 125k^3}{60k^3} = \frac{216k^3}{60k^3} = \frac{216}{60} = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}$

(2)

$x:y:z = 6:2:3$ より、$x = 6k, y = 2k, z = 3k$ とおく (ただし、$k \neq 0$)。

これらを $\frac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + zx}$ に代入すると、

$\frac{(6k)^2 + (2k)^2 + (3k)^2}{(6k)(2k) + (2k)(3k) + (3k)(6k)} = \frac{36k^2 + 4k^2 + 9k^2}{12k^2 + 6k^2 + 18k^2} = \frac{49k^2}{36k^2} = \frac{49}{36}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{18}{5}$

(2) $\frac{49}{36}$