$R$ 上の $n$ 次元数ベクトル空間 $R^n$ の2つのベクトル $v$ と $w$ が与えられています。 $v = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}$, $w = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$ このとき、$(v, w)$ を次のように定義します。 $(v, w) = ^t v w = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n$ この定義が $R^n$ 上の内積を定めることを説明し、この内積が $R^n$ の標準内積であることを示します。

1. 問題の内容

$R$ 上の $n$ 次元数ベクトル空間 $R^n$ の2つのベクトル $v$ と $w$ が与えられています。

$v = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}$, $w = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$

このとき、$(v, w)$ を次のように定義します。

$(v, w) = ^t v w = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n$

この定義が $R^n$ 上の内積を定めることを説明し、この内積が $R^n$ の標準内積であることを示します。

2. 解き方の手順

与えられた $(v, w)$ が $R^n$ 上の内積を定めることを示すためには、内積の公理を満たすことを確認する必要があります。内積の公理とは、以下の4つです。

1. 対称性: $(v, w) = (w, v)$

2. 線形性: $(av_1 + bv_2, w) = a(v_1, w) + b(v_2, w)$

3. 正定値性: $(v, v) \ge 0$, かつ $(v, v) = 0$ ならば $v = 0$

4. 実数性: $(v,w)$ が実数である

これらの公理が満たされることを確認します。

1. 対称性:

$(v, w) = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n$

$(w, v) = b_1a_1 + b_2a_2 + \dots + b_na_n$

実数の積は交換可能であるため、$a_ib_i = b_ia_i$ が成り立ちます。したがって、

$(v, w) = (w, v)$ が成り立ちます。

2. 線形性:

$av_1 + bv_2 = a\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} a_{21} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{2n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} aa_{11} + ba_{21} \\ aa_{12} + ba_{22} \\ \vdots \\ aa_{1n} + ba_{2n} \end{bmatrix}$

$(av_1 + bv_2, w) = (aa_{11} + ba_{21})b_1 + (aa_{12} + ba_{22})b_2 + \dots + (aa_{1n} + ba_{2n})b_n$

$= a(a_{11}b_1 + a_{12}b_2 + \dots + a_{1n}b_n) + b(a_{21}b_1 + a_{22}b_2 + \dots + a_{2n}b_n)$

$= a(v_1, w) + b(v_2, w)$

3. 正定値性:

$(v, v) = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2$

実数の2乗は常に0以上であるため、$(v, v) \ge 0$ が成り立ちます。

$(v, v) = 0$ となるのは、$a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$ のときのみです。これは $v = 0$ を意味します。

4. 実数性:

$a_i$ と $b_i$ が実数であるため、$a_ib_i$ も実数です。したがって、$(v, w) = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n$ は実数です。

以上のことから、与えられた定義は $R^n$ 上の内積を定めます。この内積は、ベクトルの成分ごとの積の和で定義されるため、$R^n$ の標準内積と呼ばれます。

3. 最終的な答え

与えられた $(v, w)$ は $R^n$ 上の内積を定め、それは $R^n$ の標準内積である。