2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ の1つの解が $0 < x < 1$ の範囲にあり、もう1つの解が $2 < x < 3$ の範囲にあるように、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ の1つの解が $0 < x < 1$ の範囲にあり、もう1つの解が $2 < x < 3$ の範囲にあるように、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - ax + 1$ とする。2つの解がそれぞれ $0 < x < 1$ と $2 < x < 3$ の範囲にあるための条件は、

$f(0) > 0$ かつ $f(1) < 0$ かつ $f(2) < 0$ かつ $f(3) > 0$ が成立することである。

まず、$f(0)$ を計算する。

$f(0) = 0^2 - a(0) + 1 = 1 > 0$. これは常に成り立つ。

次に、$f(1)$ を計算する。

$f(1) = 1^2 - a(1) + 1 = 2 - a < 0$

$a > 2$

次に、$f(2)$ を計算する。

$f(2) = 2^2 - a(2) + 1 = 5 - 2a < 0$

$2a > 5$

$a > \frac{5}{2} = 2.5$

次に、$f(3)$ を計算する。

$f(3) = 3^2 - a(3) + 1 = 10 - 3a > 0$

$3a < 10$

$a < \frac{10}{3} = 3.333...$

以上より、$a > 2$ かつ $a > 2.5$ かつ $a < \frac{10}{3}$ が条件となる。

したがって、$\frac{5}{2} < a < \frac{10}{3}$ が答えとなる。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2} < a < \frac{10}{3}$