複素数上の $n$ 次元ベクトル空間 $C^n$ の2つのベクトル $v$ と $w$ が与えられています。 $v = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}, w = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$ これらのベクトルについて、$(v, w) = \overline{w}^t v = a_1 \overline{b_1} + a_2 \overline{b_2} + \cdots + a_n \overline{b_n}$ で定義される演算が、$C^n$ 上にエルミート内積を定めることを示しています。 このエルミート内積は、$C^n$ の標準内積と呼ばれます。

1. 問題の内容

複素数上の $n$ 次元ベクトル空間 $C^n$ の2つのベクトル $v$ と $w$ が与えられています。

$v = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}, w = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$

これらのベクトルについて、$(v, w) = \overline{w}^t v = a_1 \overline{b_1} + a_2 \overline{b_2} + \cdots + a_n \overline{b_n}$ で定義される演算が、$C^n$ 上にエルミート内積を定めることを示しています。

このエルミート内積は、$C^n$ の標準内積と呼ばれます。

2. 解き方の手順

問題文には解くべき内容が明示されていませんが、与えられた演算がエルミート内積の定義を満たすことを示す必要があります。

エルミート内積は、次の性質を満たす必要があります。

(1) $(v, w) = \overline{(w, v)}$ (共役対称性)

(2) $(v, w_1 + w_2) = (v, w_1) + (v, w_2)$ (線形性)

(3) $(v, \alpha w) = \alpha (v, w)$ (線形性)

(4) $(v, v) \geq 0$ であり、$(v, v) = 0$ ならば $v = 0$ (正定値性)

定義された演算がこれらの性質を満たすことを確認します。

(1) $(v, w) = \sum_{i=1}^{n} a_i \overline{b_i}$

$(w, v) = \sum_{i=1}^{n} b_i \overline{a_i}$

$\overline{(w, v)} = \overline{\sum_{i=1}^{n} b_i \overline{a_i}} = \sum_{i=1}^{n} \overline{b_i} a_i = \sum_{i=1}^{n} a_i \overline{b_i} = (v, w)$

したがって、共役対称性が成り立ちます。

(2) $(v, w_1 + w_2) = \sum_{i=1}^{n} a_i \overline{(b_{1i} + b_{2i})} = \sum_{i=1}^{n} a_i (\overline{b_{1i}} + \overline{b_{2i}}) = \sum_{i=1}^{n} a_i \overline{b_{1i}} + \sum_{i=1}^{n} a_i \overline{b_{2i}} = (v, w_1) + (v, w_2)$

したがって、線形性が成り立ちます。

(3) $(v, \alpha w) = \sum_{i=1}^{n} a_i \overline{(\alpha b_i)} = \sum_{i=1}^{n} a_i \overline{\alpha} \overline{b_i} = \overline{\alpha} \sum_{i=1}^{n} a_i \overline{b_i} = \overline{\alpha} (v, w)$

これは、第2引数に関する半線形性を示しています。第1引数については、共役対称性より、

$(\alpha v, w) = \overline{(w, \alpha v)} = \overline{\overline{\alpha} (w, v)} = \alpha \overline{(w, v)} = \alpha (v, w)$

と線形になります。

(4) $(v, v) = \sum_{i=1}^{n} a_i \overline{a_i} = \sum_{i=1}^{n} |a_i|^2 \geq 0$

もし $(v, v) = 0$ ならば、$\sum_{i=1}^{n} |a_i|^2 = 0$ であり、各 $|a_i|^2 \geq 0$ であるから、すべての $i$ に対して $a_i = 0$ でなければなりません。つまり、$v = 0$ です。

したがって、正定値性が成り立ちます。

以上の性質が成り立つため、この演算はエルミート内積を定めます。

3. 最終的な答え

与えられた演算 $(v, w) = a_1 \overline{b_1} + a_2 \overline{b_2} + \cdots + a_n \overline{b_n}$ は、$C^n$ 上のエルミート内積を定めます。