図の①、②、③はそれぞれ関数 $y=ax^2$、$y=4$、$y=1$のグラフである。 (1) ①と③の交点の$x$座標の小さい方をA、Bとし、①と②の交点のうち$x$座標が負の点をCとする。 AB=8のとき、点Bの座標と$a$の値を求めよ。また、点Cの座標と直線BCの式を求めよ。 (2) (1)のとき、傾きが正の原点を通る直線が、図のように②、③および線分BCと交わる点をそれぞれP, Q, Rとする。BP:CQ=1:2のとき、点Rの座標と三角形BPRの面積を求めよ。

1. 問題の内容

図の①、②、③はそれぞれ関数 $y=ax^2$、$y=4$、$y=1$のグラフである。

(1) ①と③の交点の$x$座標の小さい方をA、Bとし、①と②の交点のうち$x$座標が負の点をCとする。

AB=8のとき、点Bの座標と$a$の値を求めよ。また、点Cの座標と直線BCの式を求めよ。

(2) (1)のとき、傾きが正の原点を通る直線が、図のように②、③および線分BCと交わる点をそれぞれP, Q, Rとする。BP:CQ=1:2のとき、点Rの座標と三角形BPRの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点A, Bは $y=ax^2$ と $y=1$ の交点であるので、$ax^2 = 1$ より $x^2 = \frac{1}{a}$ となり、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{a}}$ となる。

点A, Bの$x$座標はそれぞれ $-\frac{1}{\sqrt{a}}$, $\frac{1}{\sqrt{a}}$となる。

AB=8より、$\frac{1}{\sqrt{a}} - (-\frac{1}{\sqrt{a}}) = \frac{2}{\sqrt{a}} = 8$

よって、$\sqrt{a} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$となり、$a = \frac{1}{16}$

したがって、点Bの座標は ($\frac{1}{\sqrt{a}}$, 1) = (4, 1)。 $a = \frac{1}{16}$

$y=ax^2 = \frac{1}{16}x^2$と$y=4$の交点なので、$\frac{1}{16}x^2=4$より、$x^2=64$なので、$x=\pm 8$となる。

点Cは$x$座標が負の点なので、$C(-8, 4)$。

B(4, 1), C(-8, 4)を通る直線の式は、傾きが$\frac{4-1}{-8-4} = \frac{3}{-12} = -\frac{1}{4}$。

$y = -\frac{1}{4}x + b$に(4, 1)を代入すると、$1 = -\frac{1}{4}(4) + b$より、$1 = -1 + b$なので、$b=2$。

直線BCの式は、$y = -\frac{1}{4}x + 2$

(2)

直線 $y=kx$ が点B(4,1)と点C(-8,4)の間を通るので、$-\frac{1}{2} < k < \frac{1}{4}$

点Pは $y=4$ と $y=kx$ の交点なので、$4 = kx$より、$x=\frac{4}{k}$。点Pの座標は$(\frac{4}{k}, 4)$

点Qは $y=1$ と $y=kx$ の交点なので、$1 = kx$より、$x=\frac{1}{k}$。点Qの座標は$(\frac{1}{k}, 1)$

点Rは $y = -\frac{1}{4}x + 2$ と $y=kx$ の交点なので、$kx = -\frac{1}{4}x + 2$より、$(k+\frac{1}{4})x = 2$なので、$x = \frac{2}{k+\frac{1}{4}} = \frac{8}{4k+1}$。$y = kx = \frac{8k}{4k+1}$。点Rの座標は$(\frac{8}{4k+1}, \frac{8k}{4k+1})$

BP = $\frac{4}{k} - 4$, CQ = $4 - \frac{1}{k}$

BP:CQ = 1:2 より $\frac{4}{k} - 4 = \frac{1}{2}(4 - \frac{1}{k})$

$\frac{4-4k}{k} = \frac{4k-1}{2k}$ より $2(4-4k) = 4k-1$, $8-8k = 4k-1$, $12k = 9$, $k=\frac{3}{4}$

点Rの座標は $(\frac{8}{4k+1}, \frac{8k}{4k+1}) = (\frac{8}{4(\frac{3}{4})+1}, \frac{8(\frac{3}{4})}{4(\frac{3}{4})+1}) = (\frac{8}{4}, \frac{6}{4}) = (2, \frac{3}{2})$

P($\frac{4}{k}$, 4) = ($\frac{4}{\frac{3}{4}}$, 4) = ($\frac{16}{3}$, 4)

B(4, 1)

R(2, $\frac{3}{2}$)

三角形BPRの面積 = $\frac{1}{2} | (4)(4-\frac{3}{2}) + (\frac{16}{3})(\frac{3}{2}-1) + (2)(1-4) |$

= $\frac{1}{2} | (4)(\frac{5}{2}) + (\frac{16}{3})(\frac{1}{2}) + (2)(-3) |$

= $\frac{1}{2} | 10 + \frac{8}{3} - 6 | = \frac{1}{2} | 4 + \frac{8}{3} | = \frac{1}{2} | \frac{12+8}{3} | = \frac{1}{2} (\frac{20}{3}) = \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

点Bの座標: (4, 1)

$a$の値: $\frac{1}{16}$

点Cの座標: (-8, 4)

直線BCの式: $y = -\frac{1}{4}x + 2$

(2)

点Rの座標: (2, $\frac{3}{2}$)

三角形BPRの面積: $\frac{10}{3}$