与えられた3つの行列について、行変形を用いて逆行列を求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列について、行変形を用いて逆行列を求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行変形を用いて逆行列を求める基本的な手順は以下の通りです。

(1) 与えられた行列 $A$ に対して、単位行列 $I$ を右側に並べた拡大行列 $[A | I]$ を作成します。

(2) 行基本変形を用いて、左側の行列 $A$ を単位行列 $I$ に変形します。このとき、同じ行基本変形を右側の行列 $I$ にも適用します。

(3) 左側が単位行列になったとき、右側の行列が $A$ の逆行列 $A^{-1}$ になります。つまり、$[I | A^{-1}]$ となります。

以下、各行列に対する具体的な計算手順と結果を示します。

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

拡大行列は $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

行基本変形を繰り返すと、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3/4 & -1/4 & -1/4 \\ 0 & 1 & 0 & -1/4 & 3/4 & -1/4 \\ 0 & 0 & 1 & -1/4 & -1/4 & 3/4 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は$\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

拡大行列は $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

行基本変形を繰り返すと、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4/8 & -1/8 & -1/8 \\ 0 & 1 & 0 & -1/8 & 4/8 & -1/8 \\ 0 & 0 & 1 & -1/8 & -1/8 & 4/8 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は$\frac{1}{8} \begin{pmatrix} 4 & -1 & -1 \\ -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

(3) 行列 $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

拡大行列は $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

行基本変形を繰り返すと、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 5/7 & -2/7 & -2/7 \\ 0 & 1 & 0 & -2/7 & 5/7 & -2/7 \\ 0 & 0 & 1 & -2/7 & -2/7 & 5/7 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は$\frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & -2 & -2 \\ -2 & 5 & -2 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $\frac{1}{8} \begin{pmatrix} 4 & -1 & -1 \\ -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & -2 & -2 \\ -2 & 5 & -2 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix}$