定義域 $0 \le x \le 3$ における関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ の最大値が19、最小値が1のとき、定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定義域 $0 \le x \le 3$ における関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ の最大値が19、最小値が1のとき、定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$f(x) = a(x^2 - 2x) + b = a(x^2 - 2x + 1 - 1) + b = a(x-1)^2 - a + b$

軸は $x=1$ であり、定義域 $0 \le x \le 3$ に含まれています。$a$ の符号によってグラフの形状が異なるので、場合分けして考えます。

(1) $a > 0$ のとき

グラフは下に凸なので、$x=1$ で最小値 $-a+b = 1$ をとります。

最大値は $x=3$ または $x=0$ でとります。

$f(0) = b$

$f(3) = 9a - 6a + b = 3a + b$

$3a+b > b$ なので、$x=3$ で最大値をとります。

よって、$3a+b = 19$

$-a+b = 1$ と $3a+b = 19$ の連立方程式を解きます。

$4a = 18$ より、$a = \frac{9}{2}$

$b = 1+a = 1 + \frac{9}{2} = \frac{11}{2}$

(2) $a < 0$ のとき

グラフは上に凸なので、$x=1$ で最大値 $-a+b = 19$ をとります。

最小値は $x=3$ または $x=0$ でとります。

$f(0) = b$

$f(3) = 9a - 6a + b = 3a + b$

$3a+b < b$ なので、$x=3$ で最小値をとります。

よって、$3a+b = 1$

$-a+b = 19$ と $3a+b = 1$ の連立方程式を解きます。

$-4a = 18$ より、$a = -\frac{9}{2}$

$b = 19+a = 19 - \frac{9}{2} = \frac{29}{2}$

(3) $a=0$ のとき

$f(x) = b$ となり、最大値も最小値も $b$ となります。しかし、最大値が19、最小値が1であるという条件を満たさないため、不適です。

3. 最終的な答え

$a > 0$ のとき、$a = \frac{9}{2}$, $b = \frac{11}{2}$

$a < 0$ のとき、$a = -\frac{9}{2}$, $b = \frac{29}{2}$