$x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + y = 4$ のとき、$xy$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + y = 4$ のとき、$xy$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2x + y = 4$ より、$y = 4 - 2x$ となる。これを $xy$ に代入すると、

$xy = x(4 - 2x) = 4x - 2x^2$ となる。

これを $f(x)$ とおくと、$f(x) = -2x^2 + 4x$ である。

また、$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ より、$4 - 2x \ge 0$ であるから、$x \le 2$ である。

したがって、$0 \le x \le 2$ である。

$f(x) = -2(x^2 - 2x) = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) = -2((x - 1)^2 - 1) = -2(x - 1)^2 + 2$

したがって、$f(x)$ は $x = 1$ のとき最大値 $2$ をとる。

また、$x = 0$ または $x = 2$ のとき、$f(x) = 0$ となる。

したがって、最小値は $0$ である。

3. 最終的な答え

最大値：2

最小値：0