与えられた連立一次方程式を解き、$x, y, z$ をパラメータ $s$ を用いて表す問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 0 & -4 & 8 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 12 \\ 3 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、$x, y, z$ をパラメータ $s$ を用いて表す問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$$

\begin{bmatrix}

-1 & -1 & -1 \\

0 & -4 & 8 \\

1 & 0 & 3

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

z

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

0 \\

12 \\

3

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、連立一次方程式を書き下します。

\begin{align}

-x - y - z &= 0 \\

-4y + 8z &= 12 \\

x + 3z &= 3

\end{align}

2番目の式から $y$ について解きます。

$-4y = 12 - 8z$

$y = -3 + 2z$

1番目の式に $y = -3 + 2z$ を代入します。

$-x - (-3 + 2z) - z = 0$

$-x + 3 - 2z - z = 0$

$-x - 3z = -3$

$x + 3z = 3$

3番目の式 $x + 3z = 3$ と同じ式が得られました。これは、この連立一次方程式が不定解を持つことを意味します。

$z = s$ とおきます。すると、

$x = 3 - 3s$

$y = -3 + 2s$

$z = s$

したがって、解は

$$

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

z

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

3 \\

-3 \\

0

\end{bmatrix}

+ s

\begin{bmatrix}

-3 \\

2 \\

1

\end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

$$

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

z

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

3 \\

-3 \\

0

\end{bmatrix}

+ s

\begin{bmatrix}

-3 \\

2 \\

1

\end{bmatrix}

$$