放物線 $y = 5x^2 + 3kx - 6k$ の頂点Pの軌跡を、$k$がすべての実数をとる範囲で求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 5x^2 + 3kx - 6k$ の頂点Pの軌跡を、$k$がすべての実数をとる範囲で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線の式を平方完成して、頂点Pの座標を$k$を用いて表します。

$y = 5x^2 + 3kx - 6k$

$y = 5\left(x^2 + \frac{3k}{5}x\right) - 6k$

$y = 5\left[\left(x + \frac{3k}{10}\right)^2 - \left(\frac{3k}{10}\right)^2\right] - 6k$

$y = 5\left(x + \frac{3k}{10}\right)^2 - 5\left(\frac{9k^2}{100}\right) - 6k$

$y = 5\left(x + \frac{3k}{10}\right)^2 - \frac{9k^2}{20} - 6k$

したがって、頂点Pの座標は $\left(-\frac{3k}{10}, -\frac{9k^2}{20} - 6k\right)$ と表せます。

頂点Pの座標を $(X, Y)$ とおくと、

$X = -\frac{3k}{10}$

$Y = -\frac{9k^2}{20} - 6k$

$X$と$Y$を$k$を用いて表したので、$k$を消去して$X$と$Y$の関係式を求めます。

$X = -\frac{3k}{10}$ より、 $k = -\frac{10X}{3}$

これを $Y$ の式に代入すると、

$Y = -\frac{9}{20} \left(-\frac{10X}{3}\right)^2 - 6\left(-\frac{10X}{3}\right)$

$Y = -\frac{9}{20} \left(\frac{100X^2}{9}\right) + 20X$

$Y = -\frac{5X^2}{1} + 20X$

$Y = -5X^2 + 20X$

これで、$X$と$Y$の関係式が得られました。これは放物線を表しています。

最後に、この放物線の定義域を考えます。$k$はすべての実数をとるので、$X = -\frac{3k}{10}$ もすべての実数をとります。したがって、$X$に制限はありません。

3. 最終的な答え

点Pの軌跡は、放物線 $y = -5x^2 + 20x$ である。