与えられた連立一次方程式を解く問題です。この連立一次方程式は、行列を用いて次のように表されています。 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & -3 & 1 \\ -1 & -3 & 4 & 7 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$ 未知変数は $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ の5つで、方程式は3つです。この連立一次方程式は不定解を持つ可能性があります。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。この連立一次方程式は、行列を用いて次のように表されています。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & -3 & 1 \\ -1 & -3 & 4 & 7 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$

未知変数は $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ の5つで、方程式は3つです。この連立一次方程式は不定解を持つ可能性があります。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を行列で表現し、拡大係数行列を作成します。

次に、ガウスの消去法を用いて行列を簡約化し、連立一次方程式の解を求めます。

拡大係数行列は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & -2 & | & -7 \\ 1 & 1 & -2 & -3 & 1 & | & -3 \\ -1 & -3 & 4 & 7 & -1 & | & 1 \end{bmatrix}$

1行目を基準として、2行目から1行目を引きます(R2 -> R2 - R1)。

3行目に1行目を加えます(R3 -> R3 + R1)。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & -2 & | & -7 \\ 0 & 1 & -1 & -2 & 3 & | & 4 \\ 0 & -3 & 3 & 6 & -3 & | & -6 \end{bmatrix}$

2行目を基準として、3行目に2行目の3倍を加えます(R3 -> R3 + 3*R2)。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & -2 & | & -7 \\ 0 & 1 & -1 & -2 & 3 & | & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & | & 6 \end{bmatrix}$

3行目を6で割ります(R3 -> R3 / 6)。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & -2 & | & -7 \\ 0 & 1 & -1 & -2 & 3 & | & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$

1行目に3行目の2倍を加えます(R1 -> R1 + 2*R3)。

2行目から3行目の3倍を引きます(R2 -> R2 - 3*R3)。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & | & -5 \\ 0 & 1 & -1 & -2 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$

この行列は簡約階段形です。

この行列に対応する連立一次方程式は次のようになります。

$x_1 - x_3 - x_4 = -5$

$x_2 - x_3 - 2x_4 = 1$

$x_5 = 1$

$x_3$ と $x_4$ を自由変数とします。つまり、$x_3 = s$, $x_4 = t$とします。

すると、

$x_1 = x_3 + x_4 - 5 = s + t - 5$

$x_2 = x_3 + 2x_4 + 1 = s + 2t + 1$

$x_5 = 1$

3. 最終的な答え

連立一次方程式の解は、

$x_1 = s + t - 5$

$x_2 = s + 2t + 1$

$x_3 = s$

$x_4 = t$

$x_5 = 1$

ここで、$s$ と $t$ は任意の実数です。

解をベクトル形式で表すと、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$